Elementare Differentialgeometrie

Elementare Differentialgeometrie, Vorlesung im Sommersemester 2018

Aktuelles

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Inhalt

Geometrie bezeichnet - w枚rtlich - das Studium von Figuren. Die Differenzialgeometrie benutzt f眉r dieses Studium Methoden der Analysis.

Kartographen wissen seit langer Zeit, dass man Landkarten nicht verzerrungsfrei zeichnen kann. Das liegt daran, dass unsere Erdoberfl盲che eine Sph盲re ist, jeder Zeichenblock aber eine Ebene.

Das, was die Sph盲re und die Ebene differenzialgeometrisch unterscheidet ist die 碍谤眉尘尘耻苍驳, ein zentrales Konzept in der Differenzialgeometrie. F眉r Kurven ist vielleicht recht intuitiv, was 碍谤眉尘尘耻苍驳 bedeutet. Fl盲chen hingegen kr眉mmen sich 'verschieden stark' in 'verschiedene Richtungen'.

Den Begriff 'gekr眉mmter Raum' hat man vielleicht auch schon im Zusammenhang mit der allgemeinen Relativit盲tstheorie geh枚rt, und in der Tat spielt f眉r diese die Differentialgeometrie eine gro脽e Rolle. Und auch umgekehrt hat die Erkenntnis, dass wir nicht in einem euklidischen Raum leben, die Differenzialgeometrie nachhaltig beeinflusst.

Die Relativit盲tstheorie ist aber keinesfalls die einzige Anwendung der Differenzialgeometrie. Weitere Anwendungen sind zum Beispiel hier:

Mechanik. Beschleunigungen in verschiedenen Bezugssystemen. Au脽erdem: Wie findet man k眉rzeste Wege auf einer gekr眉mmten Fl盲che?

(Euklidische) Geometrie. Auf welchen Fl盲chen gibt es Dreiecke, deren Innenwinkelsumme nicht 180 Grad ist? Warum folgt das Parallelenpostulat nicht aus den anderen euklidischen Axiomen?

Materialwissenschaften. Wie beschreibt man Plastizit盲t/Elastizit盲t eines Materials?

Differentialgleichungen. Invariante Mengen dynamischer Systeme sind oftmals durch (oft implizit definierte) Fl盲chen gegeben. Oft f眉hren qualitative Aussagen 眉ber diese Fl盲chen zu qualitativen Aussagen 眉ber das dynamische System.

Funktionentheorie. Sogenannte Riemann'sche Fl盲chen treten auf, wenn man eine Beschreibung des komplexen Logarithmus oder der komplexen Wurzeln finden will, die holomorph ist (und zwar ohne Ausnahmemenge oder mehrere 'Zweige').

Die Veranstaltung kann bei Bedarf auch auf Englisch gehalten werden.

脺产耻苍驳别苍

Die 脺产耻苍驳别苍 weden im Moodle zur Verf眉gung gestellt. Hier der Link zum Kurs: .

Zielgruppe

Die Vorlesung richtet sich vorwiegend an Studierende der Bachelor-Studieng盲nge Mathematik, Wirtschaftsmathematik, Mathematische Biometrie und CSE.

Auch f眉r Studenten anderer Studieng盲nge kann die Vorlesung sehr interessant sein, sofern sie 眉ber die ben枚tigten Vorkenntnisse verf眉gen. In diesem Fall informieren Sie sich bitte vorab in Ihrer 笔谤眉蹿耻苍驳sordnung oder bei Ihrem 笔谤眉蹿耻苍驳sausschuss dar眉ber, ob Sie diese Vorlesung in Ihrem Haupt- oder Nebenfach anrechnen lassen k枚nnen und wieviele ECTS-Punkte Sie hierf眉r erhalten.

Ben枚tigte Vorkenntnisse

Grundvorlesungen in Mathematik ("Analysis 1, 2" und "Lineare Algebra 1").
Alternativ: Grundlagenvorlesungen 眉ber Mathematik, die f眉r andere Studieng盲nge angeboten werden (zum Beispiel "H枚here Mathematik 1-3" f眉r Physiker)

笔谤眉蹿耻苍驳

Es wird zwei schriftliche Klausuren geben, die erste am

Mittwoch, den 08. August 2018, 9:30-12 Uhr,

die zweite am

Dienstag, den 25. September 2018, 9:30-12 Uhr.

Der Teilnahmemodus ist "offen", d.h. auch der zweite Termin darf Ihr erster Versuch sein.

Zum Bestehen der Vorleistung ist das Erreichen von 50% der angebotenen 脺bungspunkte notwendig.

Literatur

Elementare Differentialgeometrie. (German)
Second revised and expanded edition. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2010.
Riemannian manifolds.
An introduction to curvature. 6 Springer-Verlag, New York, 1997.
Weitere hilfreiche Literatur findet sich im Skript.