######### A1
n<-500

m<-1000
t<-seq(0,1,length.out=m+1)
W<-matrix(0,n,m+1)

# Fall II(a): immer die gleichen Messstellen, die dicht aneinander liegen

for (i in 1:n){
Y<-rnorm(m)
W[i,]<-1/sqrt(m)*c(0,cumsum(Y))}

matplot(t,t(W),type="l",lty=1)
mw<-apply(W,2,mean)
lines(t,mw,lwd=2)

#### 1a
K<-cov(W)
ei<-eigen(K/m,symmetric=TRUE)

str(ei)
ewe<-ei$values
phi<- ei$vectors*sqrt(m)

### 1 b
par(mfrow=c(1,3))
theoEV <- 4/(pi^2*(2*(1:100)-1)^2)
plot(ewe[1:100]-theoEV[1:100],type="l") #ungefaehr 0
plot(ewe[1:100],theoEV[1:100]) #Steigung ungefaehr 1
abline(0,1,col=2)
plot(ewe[1:100]/theoEV[1:100],type="b") #ca. 1
abline(h=1,col=2)

### 1c

for (i in 1:10) {
	par(ask=TRUE)
	plot(t,phi[,i],type="l",ylim=c(-3,2),main=paste(i,"-te Eigenfunktion"))
	lines(t,sqrt(2)*sin((2*i-1)*pi/2*t),col=2)
	lines(t,-sqrt(2)*sin((2*i-1)*pi/2*t),col=3)
	legend("bottom",legend=c("geschätzt, ungeglättet","theo. mit pos. Vorzeichen","theo mit neg. Vorzeichen"),col=c(1:3),lty=1)
}

### 1d 
xi <- W%*%phi/m

dim(xi)
plot(xi[,1])
qqnorm(xi[,1])
shapiro.test(xi[,1])

library(nortest)
pearson.test(xi[,1])