### Übungen zu statistische Methoden der Risikotheorie
### WS 2014/15
### Jürgen Kampf, Judith Olszewski

### Blatt 15

# R- Lösung zu Aufgabe 2

x=c(8,8,7,-5,17)
y=c(-6,-6,1,10,6)

Sigma_hat=array(c(var(x),cov(x,y),cov(x,y), var(y)), dim=c(2,2))
Sigma_hat
eigen(Sigma_hat)

# Die Eigenvektoren sind (-0.8, 0.6) und (-0.6, -0.8). Also ist (-0.8, 0.6)
# die erste Hauptkomponente und (-0.6, -0.8) die zweite. 


# Aufgabe 3

library(MASS)
data(Cars93)
x=Cars93$EngineSize
y=Cars93$Horsepower
z=Cars93$RPM
Sigma_hat=array(c(1,cor(x,y),cor(x,z),cor(x,y),1,cor(y,z),
			cor(x,z),cor(y,z),1), dim=c(3,3))
# Kürzer:
Sigma_hat=cor(Cars93[12:14])
EV=eigen(Sigma_hat)$vectors

# Um den Plot vorzubereiten, muss das Skalarprodukt jedes Stichprobenelements
# mit den Hauptkomponentenparametern gebildet werden.
a1= EV[1,1]*x/sqrt(var(x)) + EV[2,1]*y/sqrt(var(y)) + EV[3,1]*z/sqrt(var(z))
a2= EV[1,2]*x/sqrt(var(x)) + EV[2,2]*y/sqrt(var(y)) + EV[3,2]*z/sqrt(var(z))
a3= EV[1,3]*x/sqrt(var(x)) + EV[2,3]*y/sqrt(var(y)) + EV[3,3]*z/sqrt(var(z))

# Plot
plot(a1,a2,pch=16)
Ford=(Cars93$Manufacturer=="Ford")
points(a1[Ford],a2[Ford], col="red",pch=16)

# Alternative:
P=princomp(Cars93[12:14],cor=TRUE)
P$loadings