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###          Extremwerttheorie  -  Übungsblatt 6	                ###
###          SS 2017		  Dr. Jürgen Kampf       	    	    ###
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### Aufgabe 2: Pareto-Ansatz und Dänische Feuerversicherung
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# Teil a)
# Laden der Daten
library(evir)
data(danish)

# Log-Likelihood-Funktion Variante 1: Von Hand

LLP=function(gamma, beta, threshold){
	llsum=0	
	if(beta<0){return(-50000)}	# Unzulässiges Argument => gebe sehr niedrigen Wert zurück
	excess=(danish-threshold)[danish>threshold]
	for(z in excess){
		if(gamma==0){
			llsum = llsum - log(beta) - z/beta
		}
		else{
		if( 1+gamma*z/beta < 0 ){return(-50000)} 
						# Unzulässiges Argument => gebe sehr niedrigen Wert zurück
		else{ 
			llsum= llsum -log(beta) - (1+1/gamma)* log(1+gamma*z/beta)
		}}
	}# for z
	return(llsum)}

# Log-Likelihood-Funktion Variante 2: Mit Hilfe des evir-Pakets

LLP=function(gamma, beta, threshold){
	llsum=0	
	if(beta<0){return(-50000)}	# Unzulässiges Argument => gebe sehr niedrigen Wert zurück
	excess=(danish-threshold)[danish>threshold]
	for(z in excess){
		if( 1+gamma*z/beta < 0 ){return(-50000)} 
						# Unzulässiges Argument => gebe sehr niedrigen Wert zurück
		else{ 
			llsum= llsum +log(dgpd(z, xi=gamma, beta=beta)) 
		}
	}# for z
	return(llsum)}



#Vorbereitung für das Optimieren: Umformatieren
NLLP=function(args,threshold){
	return(-LLP(args[1],args[2],threshold)) }

#Optimierung
optim(par=c(1,100), fn=NLLP, threshold=1.0)
MLE=optim(par=c(1,100), fn=NLLP, threshold=1.0)$par
 
# Teil b)
#QQ-Plot
len=length(danish)
p=(1:len)/(len+1)
plot( qgpd(p, xi=MLE[1], beta=MLE[2]), sort(danish-1.0))
abline(a=0,b=1)

# Erweiterung: Da sich sehr viele Daten in der linken unteren Ecke des Plots ansammeln, 
# logarithmieren wir beide Achsen
plot( log(qgpd(p, xi=MLE[1], beta=MLE[2])), log(sort(danish-1.0)))
abline(a=0, b=1)
# Wir sehen, dass die Verteilung der Exzesse gut durch eine verallgemeinerte Pareto-Verteilung 
# beschrieben wird.