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(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)137 b(7)287 2117 y(1.3)100 b(V)-8 b(ollst)756 2121 y(\177)756 2117 y(andige)33 b(metrisc)m(he)i(R)1574 2121 y(\177)1574 2117 y(aume)57 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g (.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(12)287 2239 y(1.4)100 b(Der)32 b(Banac)m(hsc)m(he)j(Fixpunktsatz)72 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f (.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(17)287 2362 y(1.5)100 b(Kompakte)33 b(metrisc)m(he)i(R)1495 2366 y(\177)1495 2362 y(aume)59 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.) h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(20)287 2484 y(1.6)100 b(Diagonalfolgen)31 b(und)i(der)g(Satz)g(v)m(on)g (Arzela-Ascoli)49 b(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(24)287 2607 y(1.7)129 b FR(?)29 b FT(Der)j(Satz)h(v)m(on)g (Mittag-Le\017er)61 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.) g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(31)141 2828 y FS(2)i(Lineare)39 b(Op)s(eratoren)2020 b(37)287 2950 y FT(2.1)100 b(Grundlegende)34 b(Eigensc)m(haften)g(und)g(Beispiele)74 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.) g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(37)287 3073 y(2.2)100 b(Endlic)m(hdimensionale)36 b(R)1488 3077 y(\177)1488 3073 y(aume)66 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g (.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(43)287 3195 y(2.3)100 b(Stark)m(e)33 b(Kon)m(v)m(ergenz)i(v)m(on)e (Op)s(eratoren)76 b(.)50 b(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g (.)g(.)g(.)88 b(47)287 3318 y(2.4)100 b(Der)32 b(Satz)h(v)m(om)g (stetigen)h(In)m(v)m(ersen)93 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g (.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(53)287 3440 y(2.5)100 b(Quotien)m(tenr)1023 3444 y(\177)1023 3440 y(aume)34 b(und)f(Pro)5 b(jektionen)63 b(.)50 b(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g (.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(57)141 3661 y FS(3)i(Der)38 b(Satz)f(v)m(on)h(Hahn-Banac)m(h)h(und)f(seine)h(Konsequenzen)399 b(59)287 3784 y FT(3.1)100 b(Der)32 b(F)-8 b(ortsetzungssatz)34 b(v)m(on)f(Hahn-Banac)m(h)41 b(.)50 b(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g (.)g(.)g(.)g(.)88 b(59)287 3906 y(3.2)100 b(Pro)5 b(jektionen)34 b(und)f(Quotien)m(tenr)1799 3910 y(\177)1799 3906 y(aume)63 b(.)50 b(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(64)287 4029 y(3.3)100 b(Re\015exiv)m(e)35 b(R)1000 4033 y(\177)1000 4029 y(aume)93 b(.)50 b(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.) g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(67)287 4151 y(3.4)100 b(Sc)m(h)m(w)m(ac)m(he)35 b(Kon)m(v)m(ergenz)g (.)49 b(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g (.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(73)287 4273 y(3.5)100 b(Das)32 b(Riemann)h(In)m(tegral)101 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.) g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(76)287 4396 y(3.6)100 b(V)-8 b(ektorw)m(ertige)34 b(holomorphe)f(F)-8 b(unktionen)97 b(.)50 b(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.) 88 b(79)287 4518 y(3.7)100 b(F)-8 b(olgen)32 b(v)m(on)h(holomorphen)h (F)-8 b(unktionen)94 b(.)50 b(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g (.)g(.)g(.)88 b(84)287 4641 y(3.8)100 b(Riemann-Steltjes)34 b(In)m(tegral)f(und)62 b(\()p FS(C)p FT([)p FS(a)p FR(;)17 b FS(b)p FT(]\))2228 4605 y FQ(0)2281 4641 y FT(.)88 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)88 b(88)141 4862 y FS(4)i(Sp)s(ektraltheorie)2227 b(93)287 4984 y FT(4.1)100 b(Sp)s(ektrum)34 b(und)f(Resolv)m(en)m(te)95 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.) g(.)g(.)g(.)88 b(93)1719 5233 y(iii)p eop end %%Page: 4 4 TeXDict begin 4 3 bop 515 266 a FT(iv)1025 b(INHAL)-8 b(TSVERZEICHNIS)661 530 y(4.2)99 b(Kompakte)34 b(Op)s(eratoren)79 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.) f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)40 b(100)661 651 y(4.3)99 b(Sp)s(ektraltheorie)34 b(k)m(ompakter)g(Op)s(eratoren)78 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f (.)h(.)g(.)g(.)g(.)40 b(103)515 869 y FS(5)90 b(Hilb)s(ertr)1062 874 y(\177)1063 869 y(aume)2261 b(107)661 989 y FT(5.1)99 b(Pr)989 993 y(\177)989 989 y(ahilb)s(ertr)1360 993 y(\177)1360 989 y(aume)29 b(.)50 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b(Minim)m(um)35 b(k)m(on)m(v)m(exer)g(F)-8 b(unktionen)93 b(.)49 b(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.) 40 b(140)515 2147 y FS(7)90 b(R)744 2152 y(\177)745 2147 y(aume)38 b(in)m(tegrierbarer)g(F)-9 b(unktionen)1279 b(143)661 2268 y FT(7.1)99 b(Ma\031e)40 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.) g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g (.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)40 b(143)661 2388 y(7.2)99 b(In)m(tegrierbare)34 b(F)-8 b(unktionen)56 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)f(.) h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)40 b(146)661 2508 y(7.3)99 b(Die)62 b FS(L)1159 2472 y FP(p)1209 2508 y FO(\000)30 b FT(R)1388 2512 y(\177)1388 2508 y(aume)78 b(.)50 b(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.) g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)40 b(156)661 2629 y(7.4)99 b(Dualit)1155 2633 y(\177)1155 2629 y(at)67 b(.)50 b(.)g(.)f(.)h(.)g(.) g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g(.)g (.)g(.)f(.)h(.)g(.)g(.)g(.)40 b(160)p eop end %%Page: 1 5 TeXDict begin 1 4 bop 141 1194 a FW(V)-19 b(orw)-6 b(ort)141 1647 y FT(Das)29 b(v)m(orliegende)h(V)-8 b(orlesungsskript)31 b(gibt)e(eine)h(Einf)2143 1651 y(\177)2140 1647 y(uhrung)f(in)g(die)g (F)-8 b(unktionalana-)141 1767 y(lysis.)30 b(Ziel)e(ist)h(es,)g(die)g (grundlegenden)h(Resultate)2066 1771 y(\177)2063 1767 y(ub)s(er)f(Banac)m(hr)2637 1771 y(\177)2637 1767 y(aume)g(und)g(Op)s (era-)141 1888 y(toren)24 b(zu)h(b)s(ew)m(eisen.)i(Dab)s(ei)c(w)m (erden)j(n)m(ur)f(minimale)g(Grundk)m(enn)m(tnisse)j(aus)c(Analysis)141 2008 y(und)j(linearer)h(Algebra)f(v)m(orausgesetzt.)h(Die)f(top)s (ologisc)m(hen)g(Begri\013e)h(w)m(erden)g(in)f(Ka-)141 2128 y(pitel)e(1)e(eingef)676 2132 y(\177)673 2128 y(uhrt.)i(Im)f (gesam)m(ten)i(Skript)e(w)m(erden)i(n)m(ur)f(metrisc)m(he)h(R)2746 2132 y(\177)2746 2128 y(aume)e(b)s(en)3151 2132 y(\177)3151 2128 y(otigt.)141 2249 y(V)-8 b(on)33 b(gr)429 2253 y(\177)429 2249 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b(Kon)l(v)l(ergenz)51 b(in)i(metrisc)l(hen)e(R)2517 4063 y(\177)2518 4056 y(aumen)141 4275 y FT(Den)33 b(v)m(on)62 b FN(R)g FT(b)s(ek)-5 b(ann)m(ten)34 b(Abstandsb)s(egri\013)g(axiomatisiert)f(man)g(folgenderma\031en:)141 4469 y FS(De\014nition)26 b(1.1.1.)34 b FK(Sei)53 b FR(M)75 b FK(eine)34 b(Menge.)h(Eine)f(F)-7 b(unktion)63 b FR(d)28 b FT(:)f FR(M)33 b FO(\002)23 b FR(M)38 b FO(!)28 b FN(R)3211 4484 y FM(+)3334 4469 y FK(hei\031t)141 4590 y FS(Abstand)36 b FK(o)-5 b(der)34 b FS(Metrik)p FK(,)h(fal)5 b(ls)34 b(f)1446 4594 y(\177)1446 4590 y(ur)h(al)5 b(le)64 b FR(x)17 b(;)33 b(y)20 b(;)33 b(z)g FO(2)28 b FR(M)40 b FK(,)207 4784 y(\(a\))77 b FR(d)p FT(\()p FR(x)17 b(;)33 b(y)t FT(\))27 b(=)h(0)f FO(,)g FR(x)h FT(=)g FR(y)k FK(;)212 4984 y(\(b\))77 b FR(d)p FT(\()p FR(x)17 b(;)33 b(y)t FT(\))27 b(=)h FR(d)p FT(\()p FR(y)19 b(;)33 b(x)p FT(\))65 b FS(\(Symmetrie\))p FK(;)1736 5233 y FT(3)p eop end %%Page: 4 8 TeXDict begin 4 7 bop 515 266 a FT(4)709 b FJ(1.)55 b(Metrische)36 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b(Man)g(sieh)m(t)h(leic)m(h)m(t,)g(dass)g(jede)f(k)m(on) m(v)m(ergen)m(te)j(F)-8 b(olge)22 b(eine)h(Cauc)m(h)m(yfolge)i(ist.)515 4054 y FS(De\014nition)53 b(1.3.1.)c FK(Ein)d(metrischer)g(R)-5 b(aum)77 b FR(M)87 b FK(hei\031t)47 b FS(v)m(ollst)3078 4059 y(\177)3079 4054 y(andig)p FK(,)h(fal)5 b(ls)46 b(je-)515 4175 y(de)39 b(Cauchyfolge)f(in)68 b FR(M)80 b FK(konver)-5 b(giert.)38 b(Ein)h FS(Banac)m(hraum)j FK(ist)d(ein)g(vol)5 b(lst)3437 4179 y(\177)3438 4175 y(andiger)515 4295 y(normierter)34 b(V)-7 b(ektorr)i(aum.)515 4503 y FT(Der)36 b(Begri\013)h(des)g(Banac)m(hraumes)h(wurde)g(in)f (den)g(zw)m(anziger)h(Jahren)f(gepr)3418 4507 y(\177)3418 4503 y(agt)f(und)515 4623 y(hat)c(sic)m(h)h(als)f(fundamen)m(tal)h(f) 1622 4627 y(\177)1619 4623 y(ur)f(die)h(gesam)m(te)g(Analysis)h (herausgestellt.)g(Stefan)e(Ba-)515 4744 y(nac)m(h)27 b(\(1892)f(-)g(1945\))f(w)m(ar)i(ein)g(p)s(olnisc)m(her)h(Mathematik)m (er,)h(der)e(en)m(tsc)m(heidend)j(an)c(der)515 4864 y(En)m(tsteh)m(ung) 34 b(der)f(F)-8 b(unktionalanalysis)35 b(mitgewirkt)f(hat.)p eop end %%Page: 13 17 TeXDict begin 13 16 bop 805 266 a FJ(1.3.)55 b(V)m(ollst)1385 262 y(\177)1382 266 y(andige)37 b(metrische)g(R)2374 262 y(\177)2371 266 y(aume)658 b FT(13)141 530 y(Die)38 b(meisten)h(in)m(teressan)m(ten)h(v)m(ollst)1505 534 y(\177)1505 530 y(andigen)f(metrisc)m(hen)h(R)2442 534 y(\177)2442 530 y(aume)e(treten)h(als)e(abge-)141 651 y(sc)m(hlossene)f(T)-8 b(eilmengen)35 b(eines)f(Banac)m(hraumes)h(auf.) d(Dazu)h(b)s(eac)m(h)m(te)h(man)f(folgende)141 771 y(o\013ensic)m(h)m (tlic)m(he)j(Aussage:)141 1098 y FS(Lemma)41 b(1.3.2.)i FK(Eine)36 b(T)-7 b(eilmenge)63 b FR(A)j FK(eines)35 b(vol)5 b(lst)2182 1102 y(\177)2183 1098 y(andigen)35 b(metrischen)g(R)-5 b(aumes)141 1219 y(ist)35 b(genau)g(dann)f(vol)5 b(lst)1025 1223 y(\177)1026 1219 y(andig,)33 b(wenn)h(sie)h(ab)-5 b(geschlossen)32 b(ist.)141 1546 y FT(Auc)m(h)43 b(das)g(folgende)f (Lemma)h(ist)f(of)f(n)1660 1550 y(\177)1657 1546 y(utzlic)m(h)j(um)e(V) -8 b(ollst)2405 1550 y(\177)2405 1546 y(andigk)m(eit)44 b(zu)e(b)s(ew)m(eisen.)141 1666 y(Wir)342 1670 y(\177)339 1666 y(ub)s(erlassen)34 b(den)f(einfac)m(hen)i(Bew)m(eis)f(dem)g (Leser.)141 1993 y FS(Lemma)28 b(1.3.3.)34 b FK(Eine)26 b(Cauchyfolge)f(konver)-5 b(giert)25 b(genau)g(dann,)g(wenn)g(sie)h (eine)f(kon-)141 2114 y(ver)-5 b(gente)34 b(T)-7 b(eilfolge)33 b(b)-5 b(esitzt.)141 2441 y FT(Bev)m(or)38 b(wir)g(einige)g(Beispiele)h (v)m(on)f(Banac)m(hr)1832 2445 y(\177)1832 2441 y(aumen)h (zusammenstellen,)i(f)2966 2445 y(\177)2963 2441 y(uhren)d(wir)141 2561 y(sp)s(ezielle)d(Eigensc)m(haften)f(v)m(on)g(Cauc)m(h)m(yfolgen)g (in)f(normierten)h(V)-8 b(ektorr)2864 2565 y(\177)2864 2561 y(aumen)33 b(auf.)141 2803 y(Sei)63 b FR(E)68 b FT(ein)33 b(normierter)g(V)-8 b(ektorraum.)33 b(Wie)h(b)s(ei)f(sk)-5 b(alaren)33 b(F)-8 b(olgen)32 b(sieh)m(t)i(man,)f(dass)141 2923 y(jede)28 b(Cauc)m(h)m(yfolge)h(b)s(esc)m(hr)1151 2927 y(\177)1151 2923 y(ankt)f(ist.)g(Da)56 b FR(E)62 b FT(ein)27 b(V)-8 b(ektorraum)28 b(ist,)g(k)2737 2927 y(\177)2737 2923 y(onnen)g(wir)f(auc)m(h)141 3084 y(Reihen)33 b(b)s(etrac)m(h)m(ten.)h(Sei)62 b FR(x)1220 3099 y FI(n)1296 3084 y FO(2)28 b FR(E)103 b FT(\()p FR(n)28 b FO(2)g FN(N)p FT(\))h(.)k(Die)f(Reihe)2491 2989 y FQ(1)2474 3009 y FG(P)2460 3169 y FI(n)p FM(=1)2610 3084 y FR(x)2665 3099 y FI(n)2774 3084 y FT(hei\031t)g FS(k)m(on)m(v)m(er-)141 3256 y(gen)m(t)37 b(gegen)63 b FR(x)28 b FO(2)g FR(E)35 b FT(,)e(falls)1432 3549 y(lim)1407 3608 y FI(n)p FQ(!1)1658 3424 y FI(n)1608 3454 y FG(X)1616 3666 y FI(k)r FM(=1)1768 3549 y FR(x)1823 3564 y FI(k)1894 3549 y FT(=)28 b FR(x)33 b(:)141 3855 y FT(In)g(dem)g(F)-8 b(all)32 b(sc)m(hreibt)j(man)e(auc)m (h)1561 4004 y FQ(1)1524 4034 y FG(X)1531 4246 y FI(k)r FM(=1)1684 4128 y FR(x)1739 4143 y FI(k)1810 4128 y FT(:=)28 b FR(x)141 4435 y FT(f)174 4439 y(\177)171 4435 y(ur)33 b(den)g(Limes.)141 4698 y FF(Anmerkung:)48 b FT(Das)e(Sym)m(b)s(ol)1309 4603 y FQ(1)1292 4623 y FG(P)1280 4785 y FI(k)r FM(=1)1426 4698 y FR(x)1481 4713 y FI(k)1600 4698 y FT(b)s(ezeic)m(hnet)j(also)d (zw)m(ei)i(v)m(ersc)m(hiedene)j(Dinge:)141 4937 y(Zum)43 b(einen)h(die)g(Reihe,)g(d.h.)f(die)h(F)-8 b(olge)42 b(der)i(P)m(artialsummen)74 b(\()2737 4842 y FI(n)2706 4862 y FG(P)2694 5024 y FI(k)r FM(=1)2839 4937 y FR(x)2894 4952 y FI(k)2937 4937 y FT(\))2975 4952 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)3146 4937 y FT(,)43 b(und)p eop end %%Page: 14 18 TeXDict begin 14 17 bop 515 266 a FT(14)684 b FJ(1.)55 b(Metrische)36 b(und)i(normier)-7 b(te)38 b(R)2856 262 y(\177)2853 266 y(aume)515 530 y FT(zum)33 b(anderen)h(deren)f(Limes.) 515 793 y(Die)f(Reihe)1025 699 y FQ(1)1008 719 y FG(P)994 878 y FI(n)p FM(=1)1143 793 y FR(x)1198 808 y FI(n)1308 793 y FT(hei\031t)g FS(absolut)39 b(k)m(on)m(v)m(ergen)m(t)32 b FT(falls)515 1163 y(\(1.5\))1846 1038 y FQ(1)1809 1068 y FG(X)1817 1280 y FI(k)r FM(=1)1970 1163 y FO(k)p FR(x)2075 1178 y FI(k)2118 1163 y FO(k)27 b FR(<)h FO(1)k FR(:)515 1472 y FS(Satz)49 b(1.3.4.)e FK(Ein)c(normierter)h(V)-7 b(ektorr)i(aum)43 b(ist)h(genau)g(dann)f(vol)5 b(lst)3230 1476 y(\177)3231 1472 y(andig,)42 b(wenn)515 1592 y(je)-5 b(de)34 b(absolut)h(konver)-5 b(gente)34 b(R)-5 b(eihe)34 b(konver)-5 b(gent)34 b(ist.)515 1922 y FS(Bew)m(eis.)d FT(a\))22 b(Sei)51 b(\()p FR(x)1289 1937 y FI(n)1336 1922 y FT(\))1374 1937 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1567 1922 y FT(eine)23 b(Cauc)m(h)m(yfolge.)h(Durc)m(h)e(Induktion)h(\014ndet)f (man)51 b FR(')28 b FT(:)g FN(N)f FO(!)h FN(N)515 2043 y FT(streng)33 b(monoton,)f(so)h(dass)h(f)1607 2047 y(\177)1604 2043 y(ur)e(alle)62 b FR(k)31 b FO(2)d FN(N)h FT(,)1398 2266 y FO(k)p FR(x)1503 2281 y FI(n)1572 2266 y FO(\000)23 b FR(x)1727 2281 y FI(m)1794 2266 y FO(k)k(\024)h FT(2)2025 2225 y FQ(\000)p FI(k)2220 2266 y FT(\()p FR(n;)17 b(m)28 b FO(\025)g FR(')p FT(\()p FR(k)s FT(\)\))33 b FR(:)515 2490 y FT(Insb)s(esondere)i(ist)62 b(\()p FR(x)1354 2505 y FI(')p FM(\()p FI(k)r FM(\))1498 2490 y FT(\))1536 2505 y FI(k)r FQ(2)p FH(N)1735 2490 y FT(eine)34 b(T)-8 b(eilfolge)33 b(mit)1590 2672 y FQ(1)1553 2702 y FG(X)1561 2914 y FI(k)r FM(=1)1714 2797 y FO(k)p FR(x)1819 2812 y FI(')p FM(\()p FI(k)r FM(+1\))2075 2797 y FO(\000)23 b FR(x)2230 2812 y FI(')p FM(\()p FI(k)r FM(\))2374 2797 y FO(k)k FR(<)h FO(1)k FR(:)515 3169 y FT(Existiert)23 b(n)m(un)52 b FR(y)31 b FT(=)1326 3074 y FQ(1)1309 3094 y FG(P)1297 3256 y FI(k)r FM(=1)1426 3169 y FT(\()p FR(x)1519 3184 y FI(')p FM(\()p FI(k)r FM(+1\))1753 3169 y FO(\000)p FR(x)1885 3184 y FI(')p FM(\()p FI(k)r FM(\))2030 3169 y FT(\))e(,)21 b(so)h(existiert)i(auc)m(h)74 b(lim)2870 3232 y FI(k)r FQ(!1)3066 3169 y FR(x)3121 3184 y FI(')p FM(\()p FI(k)r FM(\))3292 3169 y FT(=)52 b(lim)3396 3229 y FI(n)p FQ(!1)3580 3169 y FO(f)p FR(x)3685 3184 y FI(')p FM(\(1\))3825 3169 y FT(+)558 3313 y FI(n)526 3333 y FG(P)515 3496 y FI(k)r FM(=1)643 3408 y FT(\()p FR(x)736 3423 y FI(')p FM(\()p FI(k)r FM(+1\))993 3408 y FO(\000)22 b FR(x)1147 3423 y FI(')p FM(\()p FI(k)r FM(\))1291 3408 y FT(\))p FO(g)29 b FT(.)k(Damit)f(ist)h(auc)m(h)63 b(\()p FR(x)2259 3423 y FI(n)2306 3408 y FT(\))2344 3423 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2548 3408 y FT(k)m(on)m(v)m(ergen)m(t)35 b(\(Lemma)e(1.3.3\).)515 3647 y(b\))i(Aus)i(\(1.5\))e(folgt,)f(dass)66 b(\()1660 3552 y FI(n)1629 3572 y FG(P)1617 3735 y FI(k)r FM(=1)1762 3647 y FR(x)1817 3662 y FI(k)1860 3647 y FT(\))1898 3662 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2105 3647 y FT(eine)36 b(Cauc)m(h)m(yfolge)i (bildet.)e(Daraus)f(ergibt)515 3822 y(sic)m(h)f(die)f(umgek)m(ehrte)i (Implik)-5 b(ation.)p 3682 3822 4 66 v 3686 3760 59 4 v 3686 3822 V 3744 3822 4 66 v 515 4064 a(Nun)33 b(geb)s(en)g(wir)g (einige)g(Beispiele)i(v)m(on)e(Banac)m(hr)2395 4068 y(\177)2395 4064 y(aumen.)515 4274 y FS(Beispiel)g(1.3.5.)39 b FK(Sei)60 b FT(\012)g FK(eine)31 b(Menge.)f(Dann)g(ist)61 b FO(F)2601 4237 y FI(b)2635 4274 y FT(\(\012\))f FK(ein)31 b(Banachr)-5 b(aum)29 b(bzgl.)515 4394 y(der)34 b(Supr)-5 b(emumsnorm)63 b FO(k)28 b(k)1592 4409 y FQ(1)1730 4394 y FK(\(vgl.)35 b(Beispiel)e(1.1.9)h(b\).)515 4724 y FS(Bew)m(eis.)d FT(Sei)62 b(\()p FR(f)1184 4739 y FI(n)1231 4724 y FT(\))1269 4739 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1472 4724 y FT(eine)32 b(Cauc)m(h)m(yfolge)i (in)61 b FO(F)2442 4688 y FI(b)2476 4724 y FT(\(\012\))30 b(.)i(F)2778 4728 y(\177)2775 4724 y(ur)60 b FR(x)28 b FO(2)h FT(\012)61 b(ist)h FO(j)p FR(f)3477 4739 y FI(n)3523 4724 y FT(\()p FR(x)p FT(\))21 b FO(\000)515 4844 y FR(f)563 4859 y FI(m)629 4844 y FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)55 b(\024)g(k)p FR(f)1073 4859 y FI(n)1153 4844 y FO(\000)33 b FR(f)1311 4859 y FI(m)1378 4844 y FO(k)1428 4859 y FQ(1)1532 4844 y FT(.)48 b(Damit)g(ist)78 b(\()p FR(f)2192 4859 y FI(n)2239 4844 y FT(\))2277 4859 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2497 4844 y FT(eine)49 b(Cauc)m(h)m(yfolge)h(in)78 b FN(K)g FT(und)515 4964 y FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))28 b(=)52 b(lim)836 5024 y FI(n)p FQ(!1)1037 4964 y FR(f)1085 4979 y FI(n)1132 4964 y FT(\()p FR(x)p FT(\))62 b(k)m(on)m(v)m (ergiert.)35 b(Wir)e(zeigen,)h(dass)63 b FR(f)38 b FT(:)28 b(\012)h FO(!)e FN(K)62 b FT(b)s(esc)m(hr)3395 4968 y(\177)3395 4964 y(ankt)35 b(ist,)p eop end %%Page: 15 19 TeXDict begin 15 18 bop 805 266 a FJ(1.3.)55 b(V)m(ollst)1385 262 y(\177)1382 266 y(andige)37 b(metrische)g(R)2374 262 y(\177)2371 266 y(aume)658 b FT(15)141 530 y(und)34 b(dass)87 b(lim)579 590 y FI(n)p FQ(!1)779 530 y FR(f)827 545 y FI(n)903 530 y FT(=)28 b FR(f)73 b FT(in)63 b FO(F)1354 494 y FI(b)1388 530 y FT(\(\012\))29 b(.)k(Sei)63 b FR(")28 b(>)h FT(0)g(.)k(Dann)f(gibt)h(es)64 b FR(n)2795 545 y FM(0)2863 530 y FO(2)29 b FN(N)62 b FT(derart,)141 683 y(dass)57 b FO(j)p FR(f)453 698 y FI(n)500 683 y FT(\()p FR(x)p FT(\))11 b FO(\000)g FR(f)778 698 y FI(m)846 683 y FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)28 b(\024)g(k)p FR(f)1236 698 y FI(n)1294 683 y FO(\000)11 b FR(f)1430 698 y FI(m)1497 683 y FO(k)1547 698 y FQ(1)1649 683 y FO(\024)28 b FR(")57 b FT(f)1890 687 y(\177)1887 683 y(ur)27 b(alle)56 b FR(n;)17 b(m)28 b FO(\025)g FR(n)2586 698 y FM(0)2683 683 y FT(und)f(alle)57 b FR(x)28 b FO(2)g FT(\012)i(.)153 782 y(\177)141 803 y(Ub)s(ergang)i(zum)i(Limes)g(mit)62 b FR(m)28 b FO(!)f(1)61 b FT(liefert)141 993 y(\(1.6\))559 b FO(j)p FR(f)977 1008 y FI(n)1024 993 y FT(\()p FR(x)p FT(\))22 b FO(\000)h FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)27 b(\024)h FR(")195 b FO(8)28 b FR(n)g FO(\025)g FR(n)2200 1008 y FM(0)2256 993 y FR(;)34 b(x)28 b FO(2)g FT(\012)g FR(:)141 1183 y FT(Insb)s(esondere)h(ist)d(also)56 b FO(j)p FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)27 b(\024)h(j)p FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))e FO(\000)g FR(f)1803 1198 y FI(n)1846 1207 y FE(0)1884 1183 y FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)g FT(+)g FO(j)p FR(f)2213 1198 y FI(n)2256 1207 y FE(0)2294 1183 y FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)28 b(\024)g FR(")9 b FT(+)g FO(k)p FR(f)2824 1198 y FI(n)2867 1207 y FE(0)2905 1183 y FO(k)2955 1198 y FQ(1)3085 1183 y FT(f)3118 1187 y(\177)3115 1183 y(ur)26 b(alle)141 1304 y FR(x)i FO(2)g FT(\012)i(.)h(Somit)g(ist)61 b FR(f)968 1319 y FI(n)1011 1328 y FE(0)1110 1304 y FT(b)s(esc)m(hr)1380 1308 y(\177)1380 1304 y(ankt.)33 b(Nun)e(zeigt)h(\(3.2\),)f(dass)61 b FO(k)p FR(f)2673 1319 y FI(n)2739 1304 y FO(\000)19 b FR(f)11 b FO(k)2944 1319 y FQ(1)3046 1304 y FO(\024)28 b FR(")60 b FT(f)3290 1308 y(\177)3287 1304 y(ur)141 1424 y(alle)j FR(n)28 b FO(\025)h FR(n)600 1439 y FM(0)669 1424 y FT(.)k(Da)61 b FR(")28 b(>)h FT(0)62 b(b)s(eliebig)33 b(ist,)h(hab)s(en)f(wir)h(gezeigt,)f(dass)88 b(lim)2782 1484 y FI(n)p FQ(!1)2982 1424 y FR(f)3030 1439 y FI(n)3105 1424 y FT(=)29 b FR(f)40 b FT(in)141 1584 y FO(F)223 1548 y FI(b)257 1584 y FT(\(\012\))30 b(.)p 3308 1584 4 66 v 3312 1522 59 4 v 3312 1584 V 3370 1584 4 66 v 141 1883 a FS(Beispiel)51 b(1.3.6.)d FK(Sei)73 b FR(M)85 b FK(ein)45 b(metrischer)f(R)-5 b(aum.)45 b(Dann)f(ist)74 b FR(C)2786 1846 y FI(b)2821 1883 y FT(\()p FR(M)10 b FT(\))47 b(:=)f FO(f)p FR(f)57 b FT(:)141 2003 y FR(M)f FO(!)45 b FN(K)h FT(:)91 b FK(stetig)35 b(b)-5 b(eschr)1196 2007 y(\177)1197 2003 y(ankt)o FO(g)73 b FK(ein)44 b(Banachr)-5 b(aum)43 b(bzgl.)h(der)g(Supr)-5 b(emumsnorm)141 2123 y FO(k)28 b(k)269 2138 y FQ(1)372 2123 y FK(.)141 2421 y FS(Bew)m(eis.)k FT(Wir)k(hab)s(en)g(in)g(Beispiel)i(1.2.3)d(gesehen,) j(dass)66 b FR(C)2463 2385 y FI(b)2497 2421 y FT(\()p FR(M)10 b FT(\))66 b(ein)37 b(abgesc)m(hlos-)141 2542 y(sener)46 b(T)-8 b(eilraum)45 b(v)m(on)74 b FR(C)1131 2506 y FI(b)1166 2542 y FT(\()p FR(M)10 b FT(\))74 b(ist.)45 b(Damit)f(folgt)f(die)i(Behauptung)h(aus)e(Lemma)141 2662 y(1.3.2.)p 3308 2662 V 3312 2600 59 4 v 3312 2662 V 3370 2662 4 66 v 141 2903 a(Insb)s(esondere)36 b(ist)d(der)h(Raum)62 b FR(C)7 b FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])63 b(aller)33 b(stetigen)h(sk)-5 b(alarw)m(ertigen)35 b(F)-8 b(unktionen)141 3023 y(auf)28 b(einem)i(k)m(ompakten)g(In)m(terv)-5 b(all)59 b([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])58 b(bzgl.)29 b(der)g(Suprem)m(umsnorm)i(ein)e (Banac)m(h-)141 3144 y(raum.)k(Es)g(handelt)h(sic)m(h)g(um)f(ein)g(wic) m(h)m(tiges)i(Beispiel.)141 3442 y FS(Beispiel)47 b(1.3.7)f FT(\(F)-8 b(olgenr)1199 3446 y(\177)1199 3442 y(aume\))p FS(.)45 b FK(a\))d(Der)f(R)-5 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FM(1)752 1508 y FT(k)m(on)m(v)m(ergiert,)37 b(w)m(enn)g(sie)g(bzgl.)65 b FO(k)33 b(k)2086 1523 y FM(2)2190 1508 y FT(k)m(on)m(v)m(ergiert)38 b(mit)e(gleic)m(hem)h (Grenzw)m(ert.)515 1628 y(Die)42 b(Cauc)m(h)m(y-Eigensc)m(haft)k(bzgl.) d(b)s(eider)g(Normen)g(ist)g(eb)s(enso)2986 1632 y(\177)2986 1628 y(aquiv)-5 b(alen)m(t.)44 b(Insb)s(e-)515 1749 y(sondere)34 b(ist)62 b(\()p FR(E)6 b(;)17 b FO(k)27 b(k)1320 1764 y FM(1)1359 1749 y FT(\))62 b(genau)33 b(dann)g(v)m(ollst)2212 1753 y(\177)2212 1749 y(andig,)g(w)m(enn)h(es)63 b(\()p FR(E)6 b(;)17 b FO(k)27 b(k)3188 1764 y FM(2)3228 1749 y FT(\))61 b(ist.)515 1989 y(In)42 b(den)g(folgenden)h(zw)m(ei)g (Aufgab)s(en)f(w)m(erden)i(w)m(eitere)f(in)m(teressan)m(te)i(Beispiele) f(v)m(on)515 2110 y(Banac)m(hr)868 2114 y(\177)868 2110 y(aumen)34 b(v)m(orgestellt.)515 2284 y FD(Aufgab)s(e)h(1.3.8)e FC(\(Lipsc)n(hitz)e(stetige)f(F)-7 b(unktionen\))p FD(.)44 b FB(Sei)62 b FC(\()p FA(M)t(;)14 b(d)p FC(\))62 b FB(ein)33 b(metrischer)g(R)l(aum.)f(Eine)515 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FT(f)548 534 y(\177)545 530 y(ur)j(alle)70 b FR(u;)17 b(v)45 b FO(2)d FR(C)7 b FT([0)p FR(;)17 b(\034)11 b FT(])30 b(.)40 b(Nac)m(h)i(Theorem)g (1.4.1)f(gibt)g(es)g(also)g(ein)h(eindeutig)g(b)s(e-)515 651 y(stimm)m(tes)64 b FR(u)27 b FO(2)h FR(C)7 b FT([0)p FR(;)17 b(\034)11 b FT(])62 b(so)33 b(dass)62 b FR(T)14 b(u)27 b FT(=)h FR(u)h FT(.)j(Damit)g(ist)515 909 y(\(1.15\))790 b FR(u)p FT(\()p FR(t)p FT(\))27 b(=)h FR(u)1909 924 y FM(0)1970 909 y FT(+)2068 773 y FG(Z)2168 800 y FI(t)2123 999 y FM(0)2214 909 y FR(f)11 b FT(\()p FR(s;)17 b(u)p FT(\()p FR(s)p FT(\)\))p FR(ds)515 1157 y FT(f)548 1161 y(\177)545 1157 y(ur)32 b(alle)62 b FR(t)28 b FO(2)g FT([0)p FR(;)17 b(\034)11 b FT(])62 b(und)h FR(u)e FT(ist)33 b(eine)g(L)2035 1161 y(\177)2035 1157 y(osung)g(v)m(on)h(\(1.13\).)515 1277 y(Wir)k(hab)s(en)g(die)h(Existenz)h(einer)f(L)1881 1281 y(\177)1881 1277 y(osung)f(nac)m(hgewiesen.)j(Ist)e(umgek)m(ehrt) 69 b FR(u)e FT(eine)515 1397 y(L)576 1401 y(\177)576 1397 y(osung)44 b(v)m(on)i(\(1.13\))d(so)i(folgt)f(aus)g(dem)i (Hauptsatz)f(der)g(Di\013eren)m(tial-)f(und)h(In)m(te-)515 1518 y(gralrec)m(hn)m(ung,)c(dass)70 b FR(T)14 b(u)40 b FT(=)g FR(u)29 b FT(.)40 b(Damit)f(ergibt)i(sic)m(h)g(die)g (Eindeutigk)m(eit)h(aus)e(Satz)515 1638 y(1.4.1.)p 3682 1638 4 66 v 3686 1576 59 4 v 3686 1638 V 3744 1638 4 66 v 515 1967 a FL(1.5)160 b(Kompakte)54 b(metrisc)l(he)e(R)2516 1974 y(\177)2517 1967 y(aume)515 2186 y FT(Ein)23 b(metrisc)m(her)j (Raum)52 b FR(M)63 b FT(hei\031t)23 b FS(k)m(ompakt)p FT(,)h(falls)f(jede)h(F)-8 b(olge)23 b(in)52 b FR(M)63 b FT(eine)24 b(k)m(on)m(v)m(er-)515 2307 y(gen)m(te)40 b(T)-8 b(eilfolge)40 b(b)s(esitzt.)g(Wir)f(w)m(ollen)i(v)m(ersc)m (hiedene)i(Kriterien)d(f)3064 2311 y(\177)3061 2307 y(ur)f(Kompaktheit) 515 2427 y(herleiten.)31 b(Zun)1108 2431 y(\177)1108 2427 y(ac)m(hst)1359 2431 y(\177)1357 2427 y(ub)s(erlegen)f(wir)g(uns)g (v)m(ersc)m(hiedene)j(M)2783 2431 y(\177)2783 2427 y(oglic)m(hk)m (eiten,)f(T)-8 b(eilfolgen)515 2548 y(zu)33 b(b)s(esc)m(hreib)s(en.)515 2788 y(Sei)65 b(\()p FR(x)797 2803 y FI(n)845 2788 y FT(\))883 2803 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1090 2788 y FT(eine)36 b(F)-8 b(olge)36 b(in)65 b FR(M)40 b FT(.)c(Sei)66 b FR(')33 b FT(:)g FN(N)g FO(!)g FN(N)65 b FT(streng)36 b(monoton)g(w)m(ac)m(hsend.)515 2909 y(Dann)c(hei\031t)63 b(\()p FR(x)1146 2924 y FI(')p FM(\()p FI(k)r FM(\))1290 2909 y FT(\))1328 2924 y FI(k)r FQ(2)p FH(N)1527 2909 y FT(eine)34 b FS(T)-9 b(eilfolge)33 b FT(v)m(on)63 b(\()p FR(x)2478 2924 y FI(n)2526 2909 y FT(\))2564 2924 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2735 2909 y FT(.)33 b(Oft)f(sc)m(hreibt)j(man)e(auc)m(h)515 3029 y FR(n)573 3044 y FI(k)643 3029 y FT(=)28 b FR(')p FT(\()p FR(k)s FT(\))h(,)k(so)f(dass)i(die)f(F)-8 b(olge)61 b(\()p FR(x)1897 3045 y FI(n)1940 3057 y Fp(k)1979 3045 y FM(\))2006 3057 y Fp(k)q Fo(2)p Fn(N)2188 3029 y FT(hei\031t.)515 3270 y(F)-8 b(olgende)41 b(andere)g(Sc)m(hreib)m(w)m(eise)k(ist)c(oft)f (n)2181 3274 y(\177)2178 3270 y(utzlic)m(h.)j(Sei)70 b FR(J)79 b FT(eine)42 b(unendlic)m(he)h(T)-8 b(eil-)515 3390 y(menge)38 b(v)m(on)68 b FN(N)29 b FT(.)38 b(Sei)67 b FR(')p FT(\()p FR(k)s FT(\))g(das)g FR(k)32 b FT(te)38 b(Elemen)m(t)h(v)m(on)68 b FR(J)38 b FT(.)g(Dann)f(ist)67 b FR(')36 b FT(:)h FN(N)f FO(!)g FN(N)515 3511 y FT(streng)d(monoton)f (w)m(ac)m(hsend.)k(Wir)c(setzen)1660 3706 y(\()p FR(x)1753 3721 y FI(n)1800 3706 y FT(\))1838 3721 y FI(n)p FQ(2)p FI(J)2005 3706 y FT(:=)27 b(\()p FR(x)2228 3721 y FI(')p FM(\()p FI(k)r FM(\))2372 3706 y FT(\))2410 3721 y FI(k)r FQ(2)p FH(N)2580 3706 y FR(:)515 3901 y FT(Dann)32 b(ist)h(folgende)g (Aussage)h(unmittelbar)f(klar.)515 4021 y(Seien)73 b FR(I)8 b(;)17 b(J)82 b FT(zw)m(ei)44 b(unendlic)m(he)i(T)-8 b(eilmengen)46 b(v)m(on)73 b FN(N)f FT(und)h(\()p FR(x)2985 4036 y FI(n)3033 4021 y FT(\))3071 4036 y FI(n)p FQ(2)p FI(I)3273 4021 y FT(k)m(on)m(v)m(ergiere)515 4142 y(gegen)62 b FR(a)28 b FO(2)g FR(M)40 b FT(.)33 b(Ist)62 b FR(J)31 b FO(n)22 b FR(I)70 b FT(endlic)m(h,)34 b(so)f(k)m(on)m(v)m(ergiert)i (auc)m(h)62 b(\()p FR(x)2964 4157 y FI(n)3012 4142 y FT(\))3050 4157 y FI(n)p FQ(2)p FI(J)3250 4142 y FT(gegen)g FR(a)30 b FT(.)515 4383 y(Ein)43 b(Punkt)72 b FR(x)45 b FO(2)f FR(M)83 b FT(hei\031t)42 b FS(H)1767 4388 y(\177)1768 4383 y(aufungspunkt)i FT(v)m(on)73 b(\()p FR(x)2792 4398 y FI(n)2839 4383 y FT(\))2877 4398 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)3048 4383 y FT(,)43 b(w)m(enn)g(f)3412 4387 y(\177)3409 4383 y(ur)f(jedes)515 4503 y FR(")33 b(>)h FT(0)65 b(und)37 b(jedes)66 b FR(n)34 b FO(2)g FN(N)65 b FT(ein)h FR(m)35 b(>)e(n)66 b FT(existiert)37 b(so)g(dass)66 b FR(x)2967 4518 y FI(m)3068 4503 y FO(2)34 b FR(B)5 b FT(\()p FR(x;)17 b(")p FT(\))29 b(.)36 b(Man)515 4623 y(sieh)m(t)d(unmittelbar,)f(dass) 62 b FR(x)f FT(genau)32 b(dann)f(ein)i(H)2417 4627 y(\177)2417 4623 y(aufungspunkt)g(v)m(on)61 b(\()p FR(x)3334 4638 y FI(n)3381 4623 y FT(\))3419 4638 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)3622 4623 y FT(ist,)515 4744 y(w)m(enn)28 b(es)f(eine)g(T)-8 b(eilfolge)57 b(\()p FR(x)1570 4759 y FI(n)1613 4771 y Fp(k)1655 4744 y FT(\))1693 4759 y FI(k)r FQ(2)p FH(N)1887 4744 y FT(gibt,)26 b(die)h(gegen)57 b FR(x)f FT(k)m(on)m(v)m(ergiert.) 28 b(Damit)f(ist)56 b FR(M)515 4864 y FT(also)32 b(genau)h(dann)g(k)m (ompakt,)h(w)m(enn)g(jede)f(F)-8 b(olge)32 b(einen)i(H)2706 4868 y(\177)2706 4864 y(aufungspunkt)g(b)s(esitzt.)p eop end %%Page: 21 25 TeXDict begin 21 24 bop 892 266 a FJ(1.5.)55 b(K)m(omp)-7 b(akte)39 b(metrische)d(R)2286 262 y(\177)2283 266 y(aume)746 b FT(21)141 530 y(Wir)29 b(w)m(ollen)h(n)m(un)f(Kompaktheit)h(durc)m(h) g(andere)f(Eigensc)m(haften)i(b)s(esc)m(hreib)s(en.)g(Dazu)141 651 y(b)s(emerk)m(en)k(wir)e(zun)902 655 y(\177)902 651 y(ac)m(hst)h(folgendes.)141 853 y FS(Satz)k(1.5.1.)k FK(Je)-5 b(der)34 b(komp)-5 b(akte)34 b(metrische)g(R)-5 b(aum)35 b(ist)g(vol)5 b(lst)2462 857 y(\177)2463 853 y(andig.)141 1055 y FT(Das)32 b(folgt)g(unmittelbar)i(aus)f(Lemma)g (1.3.3.)141 1296 y(Man)f(nenn)m(t)g(einen)h(metrisc)m(hen)h(Raum)61 b FR(M)71 b FS(pr)1970 1301 y(\177)1971 1296 y(ak)m(ompakt)p FT(,)33 b(falls)f(zu)g(jedem)61 b FR(")28 b(>)f FT(0)141 1416 y(endlic)m(h)34 b(viele)g(Punkte)64 b FR(x)1124 1431 y FM(1)1164 1416 y FR(;)17 b(:)g(:)g(:)e(;)i(x)1437 1431 y FI(n)1512 1416 y FO(2)28 b FR(M)73 b FT(existieren,)35 b(so)d(dass)1385 1705 y FR(M)39 b FT(=)1657 1580 y FI(n)1623 1610 y FG([)1621 1820 y FI(i)p FM(=1)1752 1705 y FR(B)5 b FT(\()p FR(x)1924 1720 y FI(i)1953 1705 y FR(;)17 b(")p FT(\))27 b FR(:)141 2006 y FS(Theorem)50 b(1.5.2.)e FK(Ein)c (metrischer)g(R)-5 b(aum)44 b(ist)h(genau)f(dann)g(komp)-5 b(akt,)43 b(wenn)h(er)141 2126 y(vol)5 b(lst)362 2130 y(\177)363 2126 y(andig)34 b(und)h(pr)909 2130 y(\177)910 2126 y(akomp)-5 b(akt)33 b(ist.)141 2328 y FS(Bew)m(eis.)61 b FT(\\)27 b FO(\))744 2292 y FQ(00)842 2328 y FT(Sei)57 b FR(M)67 b FT(ein)27 b(k)m(ompakter)i(metrisc)m(her)g(Raum.)e(Nac)m(h) g(Satz)g(1.5.1)f(ist)141 2449 y FR(M)77 b FT(v)m(ollst)539 2453 y(\177)539 2449 y(andig.)38 b(Nehmen)g(wir)f(an,)g(dass)67 b FR(M)77 b FT(nic)m(h)m(t)38 b(pr)2319 2453 y(\177)2319 2449 y(ak)m(ompakt)f(ist.)h(Dann)e(gibt)141 2569 y(es)58 b FR(")28 b(>)f FT(0)i(,)f(so)g(dass)59 b FR(M)68 b FT(nic)m(h)m(t)29 b(durc)m(h)g(endlic)m(h)h(viele)58 b FR(")p FT(-Kugeln)2633 2573 y(\177)2630 2569 y(ub)s(erdec)m(kt)30 b(w)m(erden)141 2747 y(k)-5 b(ann.)31 b(P)m(er)h(Induktion)g(\014nden)g(wir)60 b FR(y)1560 2762 y FI(k)1630 2747 y FO(2)28 b FR(M)40 b FT(,)31 b(so)g(dass)61 b FR(y)2322 2762 y FI(k)r FM(+1)2494 2747 y FR(=)-61 b FO(2)2621 2653 y FI(k)2599 2673 y FG(S)2576 2835 y FI(k)r FM(=1)2722 2747 y FR(B)5 b FT(\()p FR(y)2887 2762 y FI(k)2929 2747 y FR(;)17 b(")p FT(\))28 b(.)j(Sei)61 b FR(y)141 2928 y FT(ein)33 b(H)371 2932 y(\177)371 2928 y(aufungspunkt)g(v)m(on)62 b(\()p FR(y)1282 2943 y FI(n)1329 2928 y FT(\))1367 2943 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1538 2928 y FT(.)32 b(Dann)f(gibt)h(es)62 b FR(n)28 b FO(2)g FN(N)61 b FT(so)33 b(dass)62 b FR(d)p FT(\()p FR(y)t(;)17 b(y)3110 2943 y FI(n)3155 2928 y FT(\))27 b FR(<)3335 2889 y FI(")p 3334 2905 36 4 v 3334 2962 a FM(2)141 3048 y FT(und)36 b(es)f(gilt)64 b FR(k)35 b(>)d(n)d FT(,)35 b(so)g(dass)65 b FR(d)p FT(\()p FR(y)t(;)17 b(y)1602 3063 y FI(k)1643 3048 y FT(\))31 b FR(<)1831 3009 y FI(")p 1830 3025 V 1830 3083 a FM(2)1904 3048 y FT(.)k(Damit)g(ist)g(nac)m(h)h (Konstruktion)g(der)141 3169 y(F)-8 b(olge)61 b FR(")28 b FO(\024)g FR(d)p FT(\()p FR(y)742 3184 y FI(n)788 3169 y FR(;)17 b(y)880 3184 y FI(k)922 3169 y FT(\))28 b FO(\024)g FR(d)p FT(\()p FR(y)1230 3184 y FI(n)1276 3169 y FR(;)17 b(y)t FT(\))k(+)h FR(d)p FT(\()p FR(y)t(;)17 b(y)1762 3184 y FI(k)1803 3169 y FT(\))27 b FR(<)h(")h FT(,)j(ein)h(Widerspruc)m (h.)141 3289 y(\\)d FO(\()320 3253 y FQ(00)425 3289 y FT(Sei)63 b FR(M)74 b FT(v)m(ollst)1007 3293 y(\177)1007 3289 y(andig)35 b(und)f(pr)1563 3293 y(\177)1563 3289 y(ak)m(ompakt.)h(Sei)64 b(\()p FR(x)2325 3304 y FI(n)2372 3289 y FT(\))2410 3304 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2615 3289 y FT(eine)34 b(F)-8 b(olge)34 b(in)63 b FR(M)40 b FT(.)141 3410 y(Da)81 b FR(M)92 b FT(pr)624 3414 y(\177)624 3410 y(ak)m(ompakt)53 b(ist,)f(\014nden)h(wir)g(zu)f(jedem)83 b FR(")60 b(>)h FT(0)81 b(ein)h FR(y)63 b FO(2)f FR(M)40 b FT(,)52 b(so)141 3530 y(dass)e(unendlic)m(h)h(viele)f(F)-8 b(olgenglieder)49 b(in)79 b FR(B)5 b FT(\()p FR(y)t(;)17 b(")p FT(\))76 b(liegen.)50 b(Wir)f(\014nden)h(also)f(in-)141 3650 y(duktiv)i(f)500 3654 y(\177)497 3650 y(ur)79 b FR(p)57 b FO(2)h FN(N)17 b FR(;)33 b(y)1095 3665 y FI(p)1191 3650 y FO(2)58 b FR(M)90 b FT(und)50 b(unendlic)m(he)i(Mengen)81 b FR(J)2680 3665 y FI(p)2776 3650 y FO(\032)58 b FN(N)79 b FT(so)50 b(dass)141 3771 y FR(J)195 3786 y FI(p)p FM(+1)374 3771 y FO(\032)g FR(J)555 3786 y FI(p)669 3771 y FT(und)76 b FR(x)962 3786 y FI(n)1058 3771 y FO(2)50 b FR(B)5 b FT(\()p FR(y)1339 3786 y FI(p)1395 3771 y FR(;)1466 3731 y FM(1)p 1465 3748 V 1465 3805 a FI(p)1511 3771 y FT(\))74 b(f)1656 3775 y(\177)1653 3771 y(ur)46 b(alle)74 b FR(n)50 b FO(2)g FR(J)2289 3786 y FI(p)2358 3771 y FT(.)45 b(F)2497 3775 y(\177)2494 3771 y(ur)75 b FR(p)49 b FO(2)h FN(N)74 b FT(de\014niere)141 3901 y FR(')p FT(\()p FR(p)p FT(\))h(als)47 b(das)75 b FR(p)p FT(-te)g(Elemen)m(t)48 b(v)m(on)76 b FR(J)1698 3916 y FI(p)1767 3901 y FT(.)46 b(Dann)g(ist)76 b FR(')51 b FT(:)f FN(N)h FO(!)f FN(N)76 b FT(streng)46 b(mo-)141 4021 y(noton)d(w)m(ac)m(hsend)i(und)72 b FR(')p FT(\()p FR(m)p FT(\))46 b FO(2)f FR(J)1542 4036 y FI(p)1654 4021 y FT(f)1687 4025 y(\177)1684 4021 y(ur)d(alle)72 b FR(m)46 b FO(\025)f FR(p)29 b FT(.)43 b(Somit)g(ist)g(f)2908 4025 y(\177)2905 4021 y(ur)72 b FR(n;)17 b(m)46 b FO(\025)141 4142 y FR(p)17 b(;)33 b(d)p FT(\()p FR(x)411 4157 y FI(')p FM(\()p FI(m)p FM(\))595 4142 y FR(;)g(x)710 4157 y FI(')p FM(\()p FI(n)p FM(\))859 4142 y FT(\))d FO(\024)h FR(d)p FT(\()p FR(x)1179 4157 y FI(')p FM(\()p FI(m)p FM(\))1363 4142 y FR(;)i(y)1471 4157 y FI(p)1510 4142 y FT(\))23 b(+)g FR(d)p FT(\()p FR(y)1807 4157 y FI(p)1863 4142 y FR(;)33 b(x)1978 4157 y FI(')p FM(\()p FI(n)p FM(\))2126 4142 y FT(\))e FO(\024)2312 4103 y FM(2)p 2312 4119 V 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FT(\))p FR(;)47 b FT(\()p FR(M)1539 3069 y FM(2)1579 3054 y FR(;)17 b(d)1674 3069 y FM(2)1713 3054 y FT(\))65 b FK(metrische)36 b(R)2330 3058 y(\177)2331 3054 y(aume)g(und)h(sei)65 b FR(f)41 b FT(:)31 b FR(M)3209 3069 y FM(1)3279 3054 y FO(!)141 3174 y FR(M)235 3189 y FM(2)339 3174 y FK(stetig.)k(Ist)64 b FR(M)896 3189 y FM(1)1000 3174 y FK(komp)-5 b(akt,)34 b(so)g(ist)65 b FR(f)11 b FT(\()p FR(M)1893 3189 y FM(1)1932 3174 y FT(\))64 b FK(komp)-5 b(akt.)141 3370 y FT(Das)32 b(folgt)g (unmittelbar)i(aus)f(der)g(De\014nition.)g(Aus)g(der)g(Analysis)h (wissen)h(wir:)141 3567 y FS(Satz)i(1.5.7.)k FK(Eine)34 b(T)-7 b(eilmenge)61 b FR(B)68 b FK(von)63 b FN(K)1846 3530 y FI(N)1977 3567 y FK(ist)34 b(komp)-5 b(akt)33 b(genau)h(dann)f(wenn)63 b FR(B)141 3687 y FK(ab)-5 b(geschlossen)33 b(und)i(b)-5 b(eschr)1196 3691 y(\177)1197 3687 y(ankt)34 b(ist.)141 3883 y FT(Ist)61 b FR(B)33 b FO(\032)28 b FN(R)60 b FT(k)m(ompakt,)32 b(so)f(hat)g(also)60 b FR(B)65 b FT(ein)32 b(gr)1981 3887 y(\177)1981 3883 y(o\031tes)f(und)g (kleinstes)i(Elemen)m(t.)g(Da-)141 4004 y(mit)h(erhalten)g(wir)g(aus)g (Satz)g(1.5.7)f(folgende)g(wic)m(h)m(tige)j(Eigensc)m(haft)f(stetiger)f (F)-8 b(unk-)141 4124 y(tionen)33 b(auf)f(einem)i(Kompaktum.)141 4441 y FS(Korollar)27 b(1.5.8.)35 b FK(Sei)55 b FR(K)63 b FK(ein)26 b(komp)-5 b(akter)26 b(metrischer)g(R)-5 b(aum)26 b(und)g(sei)56 b FR(f)38 b FT(:)28 b FR(K)35 b FO(!)27 b FN(R)141 4561 y FK(stetig.)35 b(Dann)f(gibt)h(es)64 b FR(a;)17 b(b)28 b FO(2)g FR(K)71 b FK(so)34 b(dass)1351 4773 y FR(f)11 b FT(\()p FR(b)p FT(\))28 b FO(\024)g FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))28 b FO(\024)g FR(f)11 b FT(\()p FR(a)p FT(\))141 4984 y FK(f)171 4988 y(\177)171 4984 y(ur)35 b(al)5 b(le)64 b FR(x)28 b FO(2)g FR(K)36 b FK(.)p eop end %%Page: 24 28 TeXDict begin 24 27 bop 515 266 a FT(24)684 b FJ(1.)55 b(Metrische)36 b(und)i(normier)-7 b(te)38 b(R)2856 262 y(\177)2853 266 y(aume)515 530 y FT(Das)f(Korollar)g(b)s(esagt)h(also,) f(dass)68 b FR(f)78 b FT(b)s(esc)m(hr)2286 534 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FB(.)27 b(Sei)56 b FA(a)23 b FC(=)g(\()p FA(a)3376 2691 y Fw(n)3421 2679 y FC(\))3453 2691 y Fw(n)p Fv(2)p Fs(N)3608 2679 y Fz(2)h FA(E)515 2779 y FB(und)29 b(sei)60 b FA(x)882 2749 y Fw(k)946 2779 y FC(=)23 b(\()p FA(x)1113 2749 y Fw(k)1113 2799 y(n)1159 2779 y FC(\))1191 2791 y Fw(n)p Fv(2)p Fs(N)1346 2779 y Fz(2)g FA(E)64 b FB(der)l(art,)31 b(dass)1577 2962 y Fz(j)p FA(x)1647 2928 y Fw(k)1647 2983 y(n)1693 2962 y Fz(j)23 b(\024)g FA(a)1871 2974 y Fw(k)1996 2962 y FB(f)2021 2966 y(\177)2021 2962 y(ur)30 b(al)t(le)86 b FA(n;)14 b(k)26 b Fz(2)d Fy(N)30 b FA(:)515 3146 y FB(Es)h(existier)l(e)61 b FA(x)1040 3158 y Fw(n)1111 3146 y FC(=)52 b(lim)1201 3200 y Fw(k)q Fv(!1)1384 3146 y FA(x)1431 3116 y Fw(k)1431 3167 y(n)1537 3146 y FB(f)1562 3150 y(\177)1562 3146 y(ur)31 b(al)t(le)62 b FA(n)25 b Fz(2)h Fy(N)j FB(.)j(Zeige:)61 b FA(x)26 b FC(=)f(\()p FA(x)2681 3158 y Fw(n)2727 3146 y FC(\))2759 3158 y Fw(n)p Fv(2)p Fs(N)2917 3146 y Fz(2)h FA(E)65 b FB(und)87 b FC(lim)3318 3200 y Fw(k)q 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FA(E)34 b FB(.)d(Man)f(nennt)58 b FC([)p Fz(\000)p FA(a;)14 b(a)p FC(])58 b FB(das)31 b(von)59 b FA(a)g FB(erzeugte)29 b(Or)l(dnungsinterval)t(l.)515 4461 y FL(1.6)160 b(Diagonalfolgen)52 b(und)h(der)g(Satz)g(v)l(on)f(Arzela-) 882 4644 y(Ascoli)515 4864 y FT(Es)30 b(ist)g(unmittelbar)g(klar,)g (dass)g(jede)g(k)m(ompakte)h(T)-8 b(eilmenge)60 b FR(K)66 b FT(eines)31 b(Banac)m(hrau-)515 4984 y(mes)37 b(abgesc)m(hlossen)i (und)d(b)s(esc)m(hr)1797 4988 y(\177)1797 4984 y(ankt)i(ist.)f(\(Die)f (erste)h(Aussage)g(folgt)e(aus)i(Lemma)p eop end %%Page: 25 29 TeXDict begin 25 28 bop 348 266 a FJ(1.6.)55 b(Dia)n(gonalf)n(olgen)38 b(und)g(der)f(Sa)-7 b(tz)38 b(v)n(on)g(Arzela-Ascoli)201 b FT(25)141 530 y(1.3.2,)30 b(die)h(zw)m(eite)h(daraus,)e(dass)i(k)m (on)m(v)m(ergen)m(te)h(F)-8 b(olgen)30 b(b)s(esc)m(hr)2509 534 y(\177)2509 530 y(ankt)i(sind\).)f(Wir)f(w)m(er-)141 651 y(den)k(sehen,)g(dass)g(jedo)s(c)m(h)g(die)f(Umk)m(ehrung)i(in)e (unendlic)m(h)i(dimensionalen)g(normier-)141 771 y(ten)e(V)-8 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b(im)f(Bew)m(eis)h(v)m(on)g(Theorem)f(4.3)g(v)m (orgek)m(ommen.)h(Wir)f(b)s(en)m(utzen)h(wieder)g(die)141 1614 y(v)m(ersc)m(hiedenen)48 b(Sc)m(hreib)m(w)m(eisen)g(f)1428 1618 y(\177)1425 1614 y(ur)c(T)-8 b(eilfolgen,)45 b(die)f(zu)g(Beginn)h (v)m(on)f FO(x)h FT(1.4.5)e(ein-)141 1734 y(gef)266 1738 y(\177)263 1734 y(uhrt)33 b(w)m(orden)h(w)m(aren.)141 2098 y FS(Lemma)44 b(1.6.1)f FT(\(Diagonalfolgen-Argumen)m(t\))p FS(.)h FK(Zu)39 b(je)-5 b(dem)67 b FR(p)36 b FO(2)f FN(N)69 b FK(sei)38 b(ein)h(kom-)141 2218 y(p)-5 b(akter)35 b(metrischer)f(R)-5 b(aum)64 b FT(\()p FR(M)1361 2233 y FI(p)1401 2218 y FR(;)17 b(d)1496 2233 y FI(p)1535 2218 y FT(\))64 b FK(und)34 b(eine)h(F)-7 b(olge)62 b FT(\()p FR(x)2415 2182 y FI(p)2415 2243 y(n)2462 2218 y FT(\))2500 2244 y Fp(n)p Fo(2)p Fn(N)2688 2218 y FK(in)i FR(M)2931 2233 y FI(p)3035 2218 y FK(ge)-5 b(geb)g(en.)141 2338 y(Dann)42 b(existiert)73 b FR(')43 b FT(:)g FN(N)g FO(!)g FN(N)72 b FK(str)-5 b(eng)43 b(monoton)f(wachsend)g(so,)h(dass)72 b FT(\()p FR(x)3069 2291 y FI(p)3069 2370 y(')p FM(\()p FI(n)p FM(\))3217 2338 y FT(\))3255 2365 y Fp(n)p Fo(2)p Fn(N)141 2459 y FK(f)171 2463 y(\177)171 2459 y(ur)35 b(je)-5 b(des)64 b FR(p)27 b FO(2)h FN(N)64 b FK(konver)-5 b(giert.)141 2822 y FS(Bew)m(eis.)32 b FT(Durc)m(h)49 b(Induktion)h(\014ndet)g(man)f (unendlic)m(he)i(T)-8 b(eilmengen)80 b FR(J)2959 2837 y FI(p)3077 2822 y FT(v)m(on)f FN(N)141 2943 y FT(derart,)27 b(dass)h(die)g(T)-8 b(eilfolge)57 b(\()p FR(x)1321 2906 y FI(p)1321 2967 y(n)1368 2943 y FT(\))1406 2958 y FI(n)p FQ(2)p FI(J)1535 2966 y Fp(p)1631 2943 y FT(k)m(on)m(v)m(ergiert)30 b(und)d(au\031erdem)58 b FR(J)2845 2958 y FI(p)p FM(+1)3002 2943 y FO(\032)28 b FR(J)3161 2958 y FI(p)3257 2943 y FT(f)3290 2947 y(\177)3287 2943 y(ur)141 3063 y(alle)63 b FR(p)30 b FO(2)g FN(N)f FT(.)34 b(Nun)g(de\014niert)h(man)63 b FR(')p FT(\()p FR(p)p FT(\))g(als)34 b(das)63 b FR(p)p FT(-te)g(Elemen)m(t)35 b(v)m(on)64 b FR(J)3018 3078 y FI(p)3087 3063 y FT(.)33 b(Dann)141 3183 y(ist)56 b FR(')g FT(streng)27 b(monoton.)f(Sei)56 b FR(J)37 b FT(:=)28 b FO(f)p FR(')p FT(\()p FR(p)p FT(\))f(:)h FR(p)f FO(2)h FN(N)p FO(g)h FT(.)e(Dann)f(ist)56 b FR(J)19 b FO(n)9 b FR(J)2835 3198 y FI(p)2930 3183 y FT(endlic)m(h)28 b(f)3290 3187 y(\177)3287 3183 y(ur)141 3304 y(alle)54 b FR(p)27 b FO(2)h FN(N)i FT(.)24 b(Da)52 b(\()p FR(x)933 3268 y FI(p)933 3328 y(n)980 3304 y FT(\))1018 3327 y Fp(n)1061 3319 y FQ(2)p FI(J)1147 3327 y Fp(p)1240 3304 y FT(k)m(on)m(v)m(ergiert,)26 b(ist)e(auc)m(h)h(die)g(F)-8 b(olge)52 b(\()p FR(x)2632 3256 y FI(p)2632 3335 y(')p FM(\()p FI(n)p FM(\))2781 3304 y FT(\))2819 3330 y Fp(n)p Fo(2)p Fn(N)2970 3304 y FT(=)28 b(\()p FR(x)3167 3268 y FI(p)3167 3328 y(n)3214 3304 y FT(\))3252 3330 y Fp(n)p Fo(2)p Fp(J)141 3424 y FT(k)m(on)m(v)m(ergen)m(t)35 b(f)667 3428 y(\177)664 3424 y(ur)e(jedes)63 b FR(p)27 b FO(2)h FN(N)i FT(.)p 3308 3424 4 66 v 3312 3362 59 4 v 3312 3424 V 3370 3424 4 66 v 141 3667 a FS(Bemerkung)56 b(1.6.2)f FT(\(Pro)s(dukttop)s(ologie\))p FS(.)49 b FT(Seien)77 b(\()p FR(M)2369 3682 y FI(p)2409 3667 y FR(;)17 b(d)2504 3682 y FI(p)2543 3667 y FT(\))76 b(k)m(ompakte)49 b(metri-)141 3788 y(sc)m(he)j(R)440 3792 y(\177)440 3788 y(aume)79 b(\()p FR(p)57 b FO(2)h FN(N)p FT(\))29 b(.)50 b(Das)g(Pro)s(dukt)79 b FR(M)68 b FT(=)2188 3713 y FG(Q)2169 3875 y FI(p)p FQ(2)p FH(N)2317 3788 y FR(M)2411 3803 y FI(p)2530 3788 y FT(ist)50 b(dann)g(ein)h(metri-)141 4039 y(sc)m(her)g(Raum)f(bzgl.)f (der)h(Metrik)80 b FR(d)p FT(\()p FR(x;)17 b(y)t FT(\))55 b(=)2004 3945 y FQ(1)1987 3964 y FG(P)1977 4124 y FI(p)p FM(=1)2119 4039 y FT(2)2168 4003 y FQ(\000)p FI(p)2279 4039 y FT(min)p FO(f)p FT(1)p FR(;)17 b(d)2635 4054 y FI(p)2674 4039 y FT(\()p FR(x)2767 4003 y FI(p)2807 4039 y FR(;)g(y)2903 4003 y FI(p)2942 4039 y FT(\))p FO(g)29 b FT(,)49 b(w)m(ob)s(ei)141 4230 y FR(x)28 b FT(=)g(\()p FR(x)421 4194 y FI(p)461 4230 y FT(\))499 4245 y FI(p)p FQ(2)p FH(N)633 4230 y FR(;)17 b(y)31 b FT(=)d(\()p FR(y)950 4194 y FI(p)988 4230 y FT(\))1026 4245 y FI(p)p FQ(2)p FH(N)1189 4230 y FO(2)g FR(M)40 b FT(.)141 4350 y(a\))23 b(Man)g(sieh)m(t)i(leic)m(h)m(t,)g(dass)f(eine)g(F)-8 b(olge)52 b(\()p FR(x)1729 4365 y FI(n)1776 4350 y FT(\))1814 4365 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2008 4350 y FT(in)h FR(M)63 b FT(genau)24 b(dann)f(gegen)53 b FR(x)28 b FO(2)g FR(M)141 4471 y FT(k)m(on)m(v)m(ergiert,)38 b(w)m(enn)90 b(lim)961 4530 y FI(n)p FQ(!1)1162 4471 y FR(x)1217 4434 y FI(p)1217 4495 y(n)1297 4471 y FT(=)32 b FR(x)1460 4434 y FI(p)1564 4471 y FT(f)1597 4475 y(\177)1594 4471 y(ur)j(alle)65 b FR(p)32 b FO(2)g FN(N)e FT(,)35 b(w)m(ob)s(ei)65 b FR(x)2638 4486 y FI(n)2718 4471 y FT(=)32 b(\()p FR(x)2919 4434 y FI(p)2919 4495 y(n)2966 4471 y FT(\))3004 4486 y FI(p)p FQ(2)p FH(N)3155 4471 y FR(;)i(x)e FT(=)141 4623 y(\()p FR(x)234 4587 y FI(p)274 4623 y FT(\))312 4638 y FI(p)p FQ(2)p FH(N)476 4623 y FT(.)f(Damit)f(b)s(esc)m(hreibt)i (die)g(Metrik)61 b FR(d)e FT(die)31 b(k)m(omp)s(onen)m(ten)m(w)m(eise)k (Kon)m(v)m(ergenz)141 4744 y(in)62 b FR(M)40 b FT(.)141 4864 y(b\))33 b(Lemma)g(1.5.1)f(b)s(esagt)h(gerade,)g(dass)62 b(\()p FR(M)5 b(;)17 b(d)p FT(\))62 b(k)m(ompakt)34 b(ist.)p eop end %%Page: 26 30 TeXDict begin 26 29 bop 515 266 a FT(26)684 b FJ(1.)55 b(Metrische)36 b(und)i(normier)-7 b(te)38 b(R)2856 262 y(\177)2853 266 y(aume)515 530 y FT(Sei)75 b FR(K)83 b FT(ein)46 b(k)m(ompakter)i(metrisc)m(her)g(Raum.)e(Mit)75 b FR(C)7 b FT(\()p FR(K)g FT(\))75 b(b)s(ezeic)m(hnen)49 b(wir)d(den)515 651 y(Raum)31 b(aller)g(stetigen)h(sk)-5 b(alarw)m(ertigen)32 b(F)-8 b(unktionen)32 b(auf)60 b FR(K)36 b FT(.)31 b(Dann)f(ist)61 b FR(C)7 b FT(\()p FR(K)g FT(\))60 b(ein)515 771 y(Banac)m(hraum)33 b(bzgl.)g(der)g (Suprem)m(umsnorm)1718 950 y FO(k)p FR(f)11 b FO(k)1877 965 y FQ(1)1978 950 y FT(=)30 b(sup)2082 1031 y FI(x)p FQ(2)p FI(K)2250 950 y FO(j)p FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)27 b FR(:)515 1187 y FT(Beac)m(h)m(te,)38 b(dass)g(mit)67 b FR(f)77 b FT(auc)m(h)67 b FO(j)p FR(f)11 b FO(j)34 b FT(\()p FR(x)i FO(7!)f(j)p FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)p FT(\))65 b(stetig)38 b(ist.)f(Damit)g(ist)66 b FO(k)p FR(f)11 b FO(k)3567 1202 y FQ(1)3677 1187 y FR(<)515 1307 y FO(1)29 b FT(.)j(Es)i(ist)f(also)62 b FR(C)7 b FT(\()p FR(K)g FT(\))27 b(=)h FR(C)1653 1271 y FI(b)1687 1307 y FT(\()p FR(K)7 b FT(\))62 b(\(vgl.)33 b(Beispiel)h(3.5\).)515 1548 y(Der)f(Raum)63 b FR(C)7 b FT(\()p FR(K)g FT(\))63 b(ist)34 b(ein)g(wic)m(h)m(tiger)h(Banac)m (hraum.)g(Wir)f(w)m(ollen)g(n)m(un)h(heraus\014n-)515 1668 y(den,)e(wie)h(die)f(k)m(ompakten)h(T)-8 b(eilmengen)35 b(v)m(on)62 b FR(K)69 b FT(aussehen.)515 1909 y(Die)26 b(folgende)g(De\014nition)g(ist)h(sehr)f(nat)1981 1913 y(\177)1978 1909 y(urlic)m(h.)h(Sei)56 b FR(H)63 b FT(eine)27 b(T)-8 b(eilmenge)27 b(v)m(on)56 b FR(C)7 b FT(\()p FR(K)g FT(\))29 b(.)515 2029 y(Ist)63 b FR(x)29 b FO(2)h FR(K)36 b FT(,)e(so)f(sagen)h(wir,)g(dass)64 b FR(H)70 b FS(gleic)m(hstetig)38 b(in)63 b FR(x)g FT(ist,)34 b(falls)g(es)g(zu)g(jedem)515 2150 y FR(")h(>)g FT(0)67 b(eine)38 b(Umgebung)67 b FR(U)77 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b(y)31 b FO(2)d FR(K)69 b FT(und)33 b(alle)62 b FR(f)39 b FO(2)28 b FR(H)37 b FT(.)515 3157 y FS(Lemma)61 b(1.6.3.)52 b FK(Sei)82 b FR(H)68 b FO(\032)61 b FR(C)7 b FT(\()p FR(K)g FT(\))82 b FK(gleichstetig.)52 b(Dann)f(ist)82 b FR(H)90 b FK(gleichm)3576 3161 y(\177)3577 3157 y(a\031ig)515 3277 y(gleichstetig.)515 3565 y FS(Bew)m(eis.)31 b FT(Sei)52 b FR(")28 b(>)f FT(0)i(.)23 b(Zu)f(jedem)53 b FR(x)28 b FO(2)g FR(K)59 b FT(gibt)22 b(es)53 b FR(\016)2519 3580 y FI(x)2591 3565 y FR(>)27 b FT(0)52 b(so)22 b(dass)53 b FO(j)p FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))r FO(\000)r FR(f)g FT(\()p FR(y)t FT(\))p FO(j)25 b(\024)515 3686 y FR("=)p FT(2)61 b(w)m(enn)i FR(d)p FT(\()p FR(x;)17 b(y)t FT(\))26 b FO(\024)j FT(2)p FR(\016)1503 3701 y FI(x)1576 3686 y FT(.)j(Aus)i(der)f(Heine-Borel)g(Eigensc)m(haft)h(folgt,)e(dass)1748 3940 y FR(K)j FT(=)2000 3816 y FI(m)1976 3846 y FG([)1970 4056 y FI(j)t FM(=1)2109 3940 y FR(B)5 b FT(\()p FR(x)2281 3955 y FI(j)2318 3940 y FR(;)17 b(\016)2405 3955 y FI(x)2445 3965 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v 3312 3613 V 3370 3613 4 66 v 141 3854 a(In)i(W)-8 b(orten)29 b(k)-5 b(ann)30 b(man)f(den)h(Satz)f(1.6.5)g(auc)m(h)h(so)f(fassen:)i(In)e(gleic)m (hstetigen)j(Mengen)141 3974 y(v)m(on)53 b FR(C)7 b FT(\()p FR(K)g FT(\))53 b(impliziert)25 b(die)f(punkt)m(w)m(eise)i(Kon)m(v)m (ergenz)g(auf)d(einer)h(dic)m(h)m(ten)h(T)-8 b(eilmenge)141 4095 y(sc)m(hon)31 b(die)f(gleic)m(hm)882 4099 y(\177)882 4095 y(a\031ige)h(Kon)m(v)m(ergenz.)h(In)e(Absc)m(hnitt)i(3.1)d(w)m (erden)i(wir)f(eine)h(andere)141 4215 y(Sic)m(h)m(t)m(w)m(eise)36 b(dieser)e(Argumen)m(te)g(k)m(ennenlernen)i(\(Aufgab)s(e)c(3.3.7\).)141 4456 y(Nun)27 b(b)s(ew)m(eisen)h(wir)e(folgende)h(sehr)f(n)1542 4460 y(\177)1539 4456 y(utzlic)m(he)i(Charakterisierung)g(k)m(ompakter) g(Men-)141 4576 y(gen)33 b(in)62 b FR(C)7 b FT(\()p FR(K)g FT(\))29 b(.)141 4744 y FS(Theorem)45 b(1.6.6)f FT(\(Arzela-Ascoli\))p FS(.)i FK(Sei)68 b FR(K)77 b FK(ein)40 b(komp)-5 b(akter)39 b(metrischer)g(R)-5 b(aum.)141 4864 y(Eine)44 b(T)-7 b(eilmenge)71 b FR(H)80 b FK(von)73 b FR(C)7 b FT(\()p FR(K)g FT(\))73 b FK(ist)44 b(genau)g(dann)f(r)-5 b(elativ)43 b(komp)-5 b(akt,)43 b(wenn)g(sie)141 4984 y(gleichstetig)34 b(und)h(punktweise)f(b)-5 b(eschr)1584 4988 y(\177)1585 4984 y(ankt)34 b(ist.)p eop end %%Page: 28 32 TeXDict begin 28 31 bop 515 266 a FT(28)684 b FJ(1.)55 b(Metrische)36 b(und)i(normier)-7 b(te)38 b(R)2856 262 y(\177)2853 266 y(aume)515 530 y FT(Dab)s(ei)32 b(nennen)i(wir)62 b FR(H)35 b FO(\032)29 b FR(C)7 b FT(\()p FR(K)g FT(\))61 b FS(punkt)m(w)m(eise)39 b(b)s(esc)m(hr)2751 535 y(\177)2752 530 y(ankt)p FT(,)33 b(w)m(enn)515 759 y(\(1.16\))640 b(sup)1403 841 y FI(f)7 b FQ(2)p FI(H)1571 759 y FO(j)p FR(f)k FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)27 b FR(<)g FO(1)97 b FT(f)2177 763 y(\177)2174 759 y(ur)33 b(alle)98 b FR(x)28 b FO(2)g FR(K)35 b(:)515 1055 y FT(Ist)69 b FR(H)77 b FT(b)s(esc)m(hr)1123 1059 y(\177)1123 1055 y(ankt)41 b(\(d.h.)72 b(sup)1626 1138 y FI(f)7 b FQ(2)p FI(H)1794 1055 y FO(k)p FR(f)k FO(k)1953 1070 y FQ(1)2067 1055 y 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FT(.)46 b(Damit)f(existiert)76 b FR(z)3557 2777 y FI(k)3650 2762 y FT(:=)539 2882 y(lim)515 2942 y FI(n)p FQ(!1)715 2882 y FR(z)760 2897 y FI(k)r(;n)922 2882 y FT(in)56 b FR(M)1153 2897 y FI(k)1252 2882 y FT(\(siehe)28 b(Aufgab)s(e)e (1.3.10\))g(wie)i(wir)f(es)g(in)g(\(1.19\))f(gefordert)h(hatten.)515 3035 y(Somit)h(ist)57 b(\()p FR(z)1035 3050 y FI(k)1078 3035 y FT(\))1116 3050 y FI(k)r FQ(2)p FH(N)1311 3035 y FT(eine)29 b(pro)5 b(jektiv)m(e)30 b(F)-8 b(olge)27 b(mit)h(\014nalem)h(Elemen)m(t)59 b FR(z)3178 3050 y FM(0)3245 3035 y FT(=)52 b(lim)3348 3095 y FI(n)p FQ(!1)3549 3035 y FR(z)3594 3050 y FM(0)p FI(;n)3725 3035 y FT(.)515 3192 y(Es)h(ist)81 b FR(z)901 3207 y FM(0)p FI(;)p FM(0)1057 3192 y FT(=)61 b FR(x)81 b FT(und)h FR(d)p FT(\()p FR(z)1708 3207 y FM(0)p FI(;n)p FM(+1)1900 3192 y FR(;)17 b(z)1989 3207 y FM(0)p FI(;n)2091 3192 y FT(\))61 b FO(\024)g FR("=)p FT(2)2472 3156 y FI(n)p FM(+1)2638 3192 y FT(.)52 b(Damit)f(ist)i(w)m(egen)g(\(1.21\))515 3376 y FR(d)p FT(\()p FR(x;)17 b(z)748 3391 y FM(0)p FI(;n)850 3376 y FT(\))43 b FO(\024)1061 3281 y FI(n)p FQ(\000)p FM(1)1075 3301 y FG(P)1051 3460 y FI(m)p FM(=0)1221 3376 y FR(d)p FT(\()p FR(z)1355 3391 y FM(0)p FI(;m)1476 3376 y FR(;)17 b(z)1565 3391 y FM(0)p FI(;m)p FM(+1)1777 3376 y FT(\))43 b FO(\024)g FR(")2050 3281 y FI(n)p FQ(\000)p FM(1)2064 3301 y FG(P)2041 3460 y FI(m)p FM(=0)2210 3376 y FT(2)2259 3340 y FQ(\000)p FM(\()p FI(m)p FM(+1\))2568 3376 y FT(=)g FR(")71 b FT(f)2837 3380 y(\177)2834 3376 y(ur)41 b(alle)71 b FR(n)44 b FO(2)f FN(N)29 b FT(.)42 b(Also)515 3553 y(ist)62 b FR(d)p FT(\()p FR(x;)17 b(z)913 3568 y FM(0)953 3553 y FT(\))27 b FO(\024)h FR(")h FT(.)p 3682 3553 4 66 v 3686 3491 59 4 v 3686 3553 V 3744 3553 4 66 v 515 3794 a(Ser)i(Satz)g(v)m(on)h(Mittag-Le\017er)f(hat)f(v)m(erbl)2083 3798 y(\177)2080 3794 y(u\013ende)k(Konsequenzen)f(in)e(der)h(Op)s (erator-)515 3914 y(en)m(theorie.)515 4155 y(Hier)43 b(erhalten)h(wir)g(den)g(Satz)f(v)m(on)h(Baire)f(als)h(Korollar)e(des)i (Satzes)g(v)m(on)g(Mittag-)515 4276 y(Le\017er,)33 b(w)m(enn)h(wir)f (folgendes)h(Lemma)f(b)s(en)m(utzen.)515 4579 y FS(Lemma)e(1.7.2.)37 b FK(Sei)57 b FR(O)j FK(eine)28 b(o\013ene)f(T)-7 b(eilmenge)27 b(eines)h(vol)5 b(lst)2933 4583 y(\177)2934 4579 y(andigen)27 b(metrischen)515 4700 y(R)-5 b(aumes)63 b FT(\()p FR(M)5 b(;)17 b(d)p FT(\))29 b FK(.)35 b(Dann)f(de\014niert)515 4941 y FT(\(1.22\))492 b FR(d)1308 4956 y FI(O)1368 4941 y FT(\()p FR(x;)17 b(y)t FT(\))26 b(=)i FR(d)p FT(\()p FR(x;)17 b(y)t FT(\))k(+)h FO(j)2304 4874 y FT(1)p 2160 4918 338 4 v 2160 5009 a FR(d)p FT(\()p FR(x;)17 b(O)2426 4981 y FI(c)2459 5009 y FT(\))2529 4941 y FO(\000)2781 4874 y FT(1)p 2639 4918 334 4 v 2639 5009 a FR(d)p FT(\()p FR(y)t(;)g(O)2902 4981 y FI(c)2934 5009 y FT(\))2982 4941 y FO(j)p eop end %%Page: 33 37 TeXDict begin 33 36 bop 788 266 a FJ(1.7.)84 b FR(?)29 b FJ(Der)37 b(Sa)-7 b(tz)38 b(v)n(on)g(Mitt)-7 b(a)n(g-Leffler)640 b FT(33)141 530 y FK(eine)30 b(Metrik)h(auf)59 b FR(O)32 b 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b(Bleibt)h(zu)g(zeigen,)g(dass)77 b FR(O)i FT(bzgl.)e FR(d)1792 2020 y FI(O)1928 2005 y FT(v)m(ollst)2155 2009 y(\177)2155 2005 y(andig)48 b(ist.)f(Sei)77 b(\()p FR(x)2907 2020 y FI(n)2955 2005 y FT(\))2993 2020 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)3211 2005 y FT(eine)141 2125 y(Cauc)m(h)m(yfolge)37 b(bzgl.)65 b FR(d)1007 2140 y FI(O)1095 2125 y FT(.)35 b(W)-8 b(egen)66 b FR(d)31 b FO(\024)h FR(d)1746 2140 y FI(O)1870 2125 y FT(ist)k(dann)64 b(\()p FR(x)2377 2140 y FI(n)2425 2125 y FT(\))2463 2140 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2669 2125 y FT(auc)m(h)36 b(Cauc)m(h)m(y'sc)m(h)141 2246 y(bzgl.)63 b FR(d)g FT(und)34 b(somit)g(existiert)65 b FR(x)29 b FT(=)54 b(lim)1579 2306 y FI(n)p FQ(!1)1779 2246 y FR(x)1834 2261 y FI(n)1944 2246 y FT(in)63 b FR(M)40 b FT(.)34 b(W)-8 b(egen)34 b(b\))g(bleibt)g(n)m(ur)g(no)s(c)m(h)141 2393 y(zu)k(zeigen,)h(dass)68 b FR(x)38 b FO(2)f FR(O)31 b FT(.)38 b(Angenommen,)69 b FR(x)37 b FO(2)g FR(O)2165 2357 y FI(c)2228 2393 y FT(.)h(Es)h(gibt)67 b FR(n)2729 2408 y FM(0)2805 2393 y FO(2)37 b FN(N)29 b FT(,)38 b(so)g(dass)141 2513 y FR(d)192 2528 y FI(O)251 2513 y FT(\()p FR(x)344 2528 y FI(n)392 2513 y FR(;)17 b(x)491 2528 y FI(m)558 2513 y FT(\))27 b FO(\024)h FT(1)62 b(f)872 2517 y(\177)869 2513 y(ur)32 b(alle)62 b FR(n;)17 b(m)28 b FO(\025)h FR(n)1580 2528 y FM(0)1648 2513 y FT(.)k(Damit)f(ist)539 2635 y FG(\014)539 2695 y(\014)539 2754 y(\014)705 2710 y FM(1)p 582 2726 281 4 v 582 2784 a FI(d)p FM(\()p FI(x)685 2792 y Fp(n)728 2784 y FI(;O)804 2765 y Fp(c)835 2784 y FM(\))895 2749 y FO(\000)1135 2710 y FM(1)p 1004 2726 297 4 v 1004 2784 a FI(d)p FM(\()p FI(x)1107 2792 y Fp(m)1166 2784 y FI(;O)1242 2765 y Fp(c)1273 2784 y FM(\))1311 2635 y FG(\014)1311 2695 y(\014)1311 2754 y(\014)1372 2749 y FO(\024)c FT(1)17 b FR(;)65 b FT(also)539 2898 y FO(j)p FR(d)p FT(\()p FR(x)711 2913 y FI(m)777 2898 y FR(;)17 b(O)899 2862 y FI(c)933 2898 y FT(\))22 b FO(\000)h FR(d)p FT(\()p FR(x)1237 2913 y FI(n)1284 2898 y FR(;)17 b(O)1406 2862 y FI(c)1439 2898 y FO(j)28 b(\024)g 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begin 35 38 bop 788 266 a FJ(1.7.)84 b FR(?)29 b FJ(Der)37 b(Sa)-7 b(tz)38 b(v)n(on)g(Mitt)-7 b(a)n(g-Leffler)640 b FT(35)141 530 y FS(Bew)m(eis.)32 b FT(Sei)71 b FR(B)49 b FT(=)43 b FO(f)p FR(b)1067 545 y FI(n)1158 530 y FT(:)g FR(n)h FO(2)g FN(N)p FO(g)70 b FT(die)43 b(Menge)g(der)f(Punkte)h(in)71 b FR(M)40 b FT(,)i(die)h(nic)m(h)m(t)141 651 y(isoliert)34 b(sind.)h(Dann)e(ist)63 b FR(O)1203 666 y FI(n)1279 651 y FT(=)30 b FR(M)j FO(n)23 b(f)p FR(b)1676 666 y FI(n)1723 651 y FO(g)63 b FT(o\013en)33 b(und)i(dic)m(h)m(t)f(f)2546 655 y(\177)2543 651 y(ur)g(alle)63 b FR(n)30 b FO(2)f FN(N)h FT(.)j(Der)141 771 y(Satz)g(v)m(on)g(Baire)g(impliziert,)h(dass) 1536 696 y FG(T)1509 858 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1663 771 y FR(O)1738 786 y FI(n)1812 771 y FT(=)28 b FR(M)33 b FO(n)22 b FR(B)67 b FT(dic)m(h)m(t)34 b(ist.)p 3308 771 4 66 v 3312 709 59 4 v 3312 771 V 3370 771 4 66 v 141 1033 a FS(Korollar)25 b(1.7.7.)34 b FK(Ein)25 b(unend)5 b(lichdimensionaler)21 b(Banachr)-5 b(aum)24 b(b)-5 b(esitzt)25 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(ein)141 1956 y FR(k)192 1971 y FM(0)260 1956 y FO(2)d FN(N)63 b FT(so)33 b(dass)910 1868 y FQ(\016)854 1956 y FR(E)926 1971 y FI(k)963 1980 y FE(0)1002 1956 y FO(6)p FT(=)c FO(;)g FT(.)k(Damit)g(existieren)65 b FR(x)30 b FO(2)f FR(E)6 b(;)17 b(")29 b(>)g FT(0)62 b(so)34 b(dass)64 b FR(B)5 b FT(\()p FR(x;)17 b(")p FT(\))29 b FO(\032)141 2077 y FR(E)213 2092 y FI(k)250 2101 y FE(0)318 2077 y FT(.)39 b(Da)67 b FR(E)647 2092 y FI(k)684 2101 y FE(0)791 2077 y FT(ein)39 b(V)-8 b(ektorraum)39 b(ist,)g(folgt)f(dass)69 b FR(B)5 b FT(\(0)p FR(;)17 b(")p FT(\))37 b(=)h FR(B)5 b FT(\()p FR(x;)17 b(")p FT(\))26 b FO(\000)h FR(x)39 b FO(\032)f FR(E)3303 2092 y FI(k)3340 2101 y FE(0)141 2197 y FT(und)33 b(somit)63 b FR(E)754 2122 y FG(S)726 2284 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)881 2197 y FR(nB)5 b FT(\(0)p FR(;)17 b(")p FT(\))27 b FO(\032)h FR(E)1437 2212 y FI(k)1474 2221 y FE(0)1542 2197 y FT(.)k(Also)h(ist)63 b FR(E)68 b FT(endlic)m(hdimensional.)p 3308 2197 V 3312 2135 59 4 v 3312 2197 V 3370 2197 4 66 v 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b(sprec)m(hen)i(v)m(on)e (Multiplik)-5 b(ation)34 b(statt)e(Komp)s(osition.)h(Die)g (Distributivgesetze)1206 4384 y(\()p FR(T)1301 4399 y FM(1)1362 4384 y FT(+)22 b FR(T)1517 4399 y FM(2)1557 4384 y FT(\))p FR(S)89 b FT(=)83 b FR(T)1960 4399 y FM(1)1999 4384 y FR(S)28 b FT(+)22 b FR(T)2242 4399 y FM(2)2282 4384 y FR(S)1157 4529 y(T)14 b FT(\(\()p FR(S)1364 4544 y FM(1)1425 4529 y FT(+)22 b FR(S)1583 4544 y FM(2)1623 4529 y FT(\))83 b(=)g FR(T)14 b(S)2034 4544 y FM(1)2095 4529 y FT(+)22 b FR(T)14 b(S)2324 4544 y FM(2)141 4744 y FT(f)174 4748 y(\177)171 4744 y(ur)69 b FR(S)392 4759 y FM(1)431 4744 y FR(;)17 b(S)535 4759 y FM(2)614 4744 y FO(2)40 b(L)p FT(\()p FR(E)6 b(;)17 b(F)d FT(\))j FR(;)32 b(T)1197 4759 y FM(1)1236 4744 y FR(;)17 b(T)1337 4759 y FM(2)1416 4744 y FO(2)40 b(L)p FT(\()p FR(F)s(;)17 b(G)p FT(\))67 b(folgen)40 b(unmittelbar)g(aus)g(der)g(Linea-)141 4864 y(rit)244 4868 y(\177)244 4864 y(at)32 b(der)h(Abbildungen.)p eop end %%Page: 40 44 TeXDict begin 40 43 bop 515 266 a 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FR(E)6 b FT(\))66 b FK(mit)g FO(k)p FR(T)14 b FO(k)30 b FR(<)h FT(1)e FK(.)37 b(Dann)141 2365 y(ist)64 b FT(\()p FR(I)30 b FO(\000)23 b FR(T)14 b FT(\))64 b FK(invertierb)-5 b(ar)34 b(und)141 2668 y FT(\(2.7\))981 b(\()p FR(I)30 b FO(\000)23 b FR(T)14 b FT(\))1643 2627 y FQ(\000)p FM(1)1765 2668 y FT(=)1905 2544 y FQ(1)1868 2574 y FG(X)1876 2786 y FI(k)r FM(=0)2029 2668 y FR(T)2100 2627 y FI(k)2170 2668 y FR(:)141 2987 y FT(Man)33 b(nenn)m(t)h(\(2.7\))e(die)h FS(Neumann)39 b(Reihe)p FT(.)141 3230 y(Der)i(folgende)h(Begri\013)g (ist)g(wic)m(h)m(tig.)h(Sei)71 b FR(E)77 b FT(ein)42 b(normierter)g(V)-8 b(ektorraum.)42 b(Dann)141 3351 y(hei\031t)68 b FR(E)498 3315 y FQ(0)560 3351 y FT(=)38 b FO(L)p FT(\()p FR(E)6 b(;)17 b FN(K)p FT(\))67 b(der)40 b FS(Dualraum)46 b(v)m(on)74 b FR(E)35 b FT(.)k(Damit)f(ist)h(also)68 b FR(E)2974 3315 y FQ(0)3065 3351 y FT(ein)40 b(Ba-)141 3471 y(nac)m(hraum.)34 b(Seine)f(Elemen)m(te)i(hei\031en)f FS(die)k(stetigen)f(Linearformen)i(auf)68 b FR(E)35 b FT(.)141 3594 y(Am)28 b(Ende)h(des)f(Absc)m(hnitts)i(und)e(im)g(V)-8 b(erlauf)28 b(des)g(Skripts)h(w)m(erden)h(wir)e(einige)g(Duale)141 3714 y(k)m(onkreter)34 b(Banac)m(hr)930 3718 y(\177)930 3714 y(aume)f(b)s(estimmen.)g(Wir)f(sc)m(hlie\031en)i(den)f(Absc)m (hnitt)h(mit)e(einem)141 3835 y(n)198 3839 y(\177)195 3835 y(utzlic)m(hen)j(F)-8 b(ortsetzungssatz.)141 4170 y FS(Satz)50 b(2.1.5)g FT(\(Eindeutige)45 b(stetige)f(F)-8 b(ortsetzung\))p FS(.)47 b FK(Sei)74 b FR(E)80 b FK(ein)44 b(normierter)h(V)-7 b(ek-)141 4290 y(torr)i(aum,)67 b FR(E)651 4305 y FM(0)757 4290 y FK(ein)36 b(dichter)h(Unterr)-5 b(aum)38 b(von)65 b FR(E)36 b FK(.)h(Sei)66 b FR(F)80 b FK(ein)36 b(Banachr)-5 b(aum)36 b(und)141 4410 y FR(T)198 4425 y FM(0)265 4410 y FO(2)29 b(L)p FT(\()p FR(E)539 4425 y FM(0)578 4410 y FR(;)17 b(F)d FT(\))28 b FK(.)35 b(Dann)f(gibt)h(es)f(genau)h(einen)f(Op)-5 b(er)g(ator)64 b FR(T)41 b FO(2)28 b(L)p FT(\()p FR(E)6 b(;)17 b(F)d FT(\))28 b FK(,)35 b(so)g(dass)1130 4637 y FR(T)1187 4652 y FM(0)1227 4637 y FR(x)28 b FT(=)f FR(T)14 b(x)100 b FK(f)1669 4641 y(\177)1669 4637 y(ur)35 b(al)5 b(le)99 b FR(x)29 b FO(2)f FR(E)2296 4652 y FM(0)2363 4637 y FR(:)141 4864 y FK(F)-7 b(erner)34 b(gilt:)64 b FO(k)p FR(T)792 4879 y FM(0)831 4864 y FO(k)28 b FT(=)f FO(k)p FR(T)14 b FO(k)29 b FK(.)p eop end %%Page: 42 46 TeXDict begin 42 45 bop 515 266 a FT(42)998 b FJ(2.)55 b(Lineare)38 b(Opera)-7 b(toren)515 530 y FS(Bew)m(eis.)31 b FT(Sei)83 b FR(x)62 b FO(2)h FR(E)35 b FT(.)53 b(Dann)g(gibt)g(es)82 b FR(x)2276 545 y FI(n)2386 530 y FO(2)63 b FR(E)2587 545 y FM(0)2656 530 y FT(,)53 b(so)g(dass)107 b(lim)3138 590 y FI(n)p FQ(!1)3338 530 y FR(x)3393 545 y FI(n)3503 530 y FT(=)62 b FR(x)29 b FT(.)515 683 y(Da)71 b FO(k)p FR(T)817 698 y FM(0)857 683 y FR(x)912 698 y FI(n)989 683 y FO(\000)29 b FR(T)1152 698 y FM(0)1192 683 y FR(x)1247 698 y FI(m)1314 683 y FO(k)46 b(\024)g(k)p FR(T)1640 698 y FM(0)1679 683 y FO(k)g(k)p FR(x)1880 698 y FI(n)1956 683 y FO(\000)30 b FR(x)2118 698 y FI(m)2185 683 y FO(k)f FT(,)43 b(ist)73 b(\()p FR(T)2605 698 y FM(0)2645 683 y FR(x)2700 698 y FI(n)2747 683 y FT(\))2785 698 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)3000 683 y FT(eine)44 b(Cauc)m(h)m(yfolge.)515 803 y(Wir)h(de\014nieren)76 b FR(T)14 b(x)48 b FT(:=)73 b(lim)1537 863 y FI(n)p FQ(!1)1737 803 y FR(T)1794 818 y FM(0)1834 803 y FR(x)1889 818 y FI(n)1966 803 y FT(.)44 b(Damit)h(ist)74 b FR(T)2586 818 y FM(0)2674 803 y FT(:)49 b FR(E)55 b FO(!)48 b FR(F)87 b FT(w)m(ohlde\014niert.)515 956 y(Ist)45 b(n)725 960 y(\177)725 956 y(amlic)m(h)76 b(\()p FR(y)1165 971 y FI(n)1211 956 y FT(\))1249 971 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1465 956 y FT(eine)46 b(w)m(eitere)h(F)-8 b(olge)44 b(in)75 b FR(E)2520 971 y FM(0)2634 956 y FT(mit)98 b(lim)2854 1016 y FI(n)p FQ(!1)3055 956 y FR(y)3103 971 y FI(n)3198 956 y FT(=)49 b FR(x)29 b FT(,)46 b(so)f(gilt)539 1123 y(lim)515 1183 y FI(n)p FQ(!1)715 1123 y FO(k)p FR(x)820 1138 y FI(n)884 1123 y FO(\000)16 b FR(y)1025 1138 y FI(n)1072 1123 y FO(k)28 b FT(=)f(0)i(.)h(Also)g(ist)p 1768 1042 184 4 v 84 w(lim)1768 1183 y FI(n)p FQ(!1)1952 1123 y FO(k)p FR(T)2059 1138 y FM(0)2098 1123 y FR(x)2153 1138 y FI(n)2217 1123 y FO(\000)16 b FR(T)2367 1138 y FM(0)2408 1123 y FR(y)2456 1138 y FI(n)2502 1123 y FO(k)28 b(\024)52 b FT(lim)2685 1183 y FI(n)p FQ(!1)2885 1123 y FO(k)p FR(T)2992 1138 y FM(0)3032 1123 y FO(k)27 b(k)p FR(x)3214 1138 y FI(n)3278 1123 y FO(\000)16 b FR(y)3419 1138 y FI(n)3466 1123 y FO(k)28 b FT(=)f(0)i(.)515 1271 y(F)-8 b(olglic)m(h)32 b(gilt)1669 1391 y(lim)1645 1451 y FI(n)p FQ(!1)1846 1391 y FR(T)1903 1406 y FM(0)1942 1391 y FR(x)1997 1406 y FI(n)2072 1391 y FT(=)52 b(lim)2176 1451 y FI(n)p FQ(!1)2376 1391 y FR(T)2433 1406 y FM(0)2473 1391 y FR(y)2521 1406 y FI(n)2595 1391 y FR(:)515 1587 y FT(Aus)41 b(der)g(Linearit)1234 1591 y(\177)1234 1587 y(at)g(v)m(on)70 b FR(T)1640 1602 y FM(0)1750 1587 y FT(ergibt)40 b(sic)m(h,)j(dass)70 b FR(T)55 b FT(:)42 b FR(E)47 b FO(!)41 b FR(F)84 b FT(eb)s(enfalls)41 b(linear)515 1708 y(ist.)36 b(F)-8 b(erner)37 b(ist)66 b FO(k)p FR(T)14 b(x)p FO(k)33 b FT(=)58 b(lim)1528 1768 y FI(n)p FQ(!1)1728 1708 y FO(k)p FR(T)1835 1723 y FM(0)1875 1708 y FR(x)1930 1723 y FI(n)1977 1708 y FO(k)34 b(\024)58 b FT(lim)2172 1768 y FI(n)p FQ(!1)2373 1708 y FO(k)p FR(T)2480 1723 y FM(0)2519 1708 y FO(k)34 b(k)p FR(x)2708 1723 y FI(n)2755 1708 y FO(k)f FT(=)h FO(k)p FR(T)3055 1723 y FM(0)3094 1708 y FO(k)g(k)p FR(x)p FO(k)29 b FT(.)37 b(Also)f(ist)515 1861 y FO(k)p FR(T)14 b FO(k)44 b(\024)h(k)p FR(T)959 1876 y FM(0)998 1861 y FO(k)29 b FT(.)43 b(Da)71 b FR(T)85 b FT(eine)43 b(F)-8 b(ortsetzung)43 b(v)m(on)73 b FR(T)2518 1876 y FM(0)2629 1861 y FT(ist,)43 b(ist)72 b FO(k)p FR(T)14 b FO(k)44 b FT(=)h FO(k)p FR(T)3420 1876 y FM(0)3459 1861 y FO(k)29 b FT(.)43 b(Die)515 1981 y(Eindeutigk)m(eit)35 b(ist)e(unmittelbar)g(klar.)p 3682 1981 4 66 v 3686 1918 59 4 v 3686 1981 V 3744 1981 4 66 v 515 2295 a FD(Aufgab)s(e)k(2.1.6.) 42 b FB(a\))34 b(Sei)63 b FA(E)35 b FC(=)30 b FA(c)1677 2307 y Fx(0)1744 2295 y FB(.)k(Sei)63 b FA(y)33 b Fz(2)e FA(`)2171 2265 y Fx(1)2237 2295 y FB(.)k(Dann)e(de\014niert)63 b FA(')2946 2307 y Fw(y)2986 2295 y FC(\()p FA(x)p FC(\))32 b(=)3253 2217 y Fv(1)3242 2233 y Fr(P)3224 2367 y Fw(n)p Fx(=1)3363 2295 y FA(x)3410 2307 y Fw(n)3455 2295 y FA(y)3496 2307 y Fw(n)3604 2295 y FB(eine)515 2452 y(stetige)h(Line)l(arform)64 b FA(')1300 2464 y Fw(y)1370 2452 y Fz(2)30 b FA(E)1521 2422 y Fv(0)1573 2452 y FB(.)k(Zeige,)h(dass)63 b FA(y)32 b Fz(7!)e FA(')2337 2464 y Fw(y)2406 2452 y FC(:)g FA(`)2494 2422 y Fx(1)2560 2452 y Fz(!)g FA(c)2709 2422 y Fv(0)2709 2472 y Fx(0)2809 2452 y FB(ein)j(isometrischer)i(Isomor-)515 2551 y(phismus)30 b(ist.)g(Damit)f(ist)g(also)60 b FA(c)1583 2521 y Fv(0)1583 2572 y Fx(0)1679 2551 y FB(isometrisch)31 b(isomorph)g(zu)58 b FA(`)2652 2521 y Fx(1)2718 2551 y FB(.)30 b(Wir)g(sagen)g(auch)g(k)3410 2555 y(\177)3410 2551 y(urzer:)59 b FA(`)3716 2521 y Fx(1)515 2651 y FB(ist)29 b(der)i(Dualr)l(aum)e(von)59 b FA(c)1385 2663 y Fx(0)1452 2651 y FB(.)515 2784 y(b\))30 b(Sei)59 b FA(E)29 b FC(=)23 b FA(`)999 2754 y Fx(1)1065 2784 y FB(.)31 b(Sei)59 b FA(y)27 b Fz(2)c FA(`)1471 2754 y Fv(1)1571 2784 y FB(.)30 b(Dann)g(de\014niert)59 b FA(')2268 2796 y Fw(y)2308 2784 y FC(\()p FA(x)p FC(\))25 b(=)2561 2705 y Fv(1)2551 2722 y Fr(P)2532 2856 y Fw(n)p Fx(=1)2671 2784 y FA(x)2718 2796 y Fw(n)2763 2784 y FA(y)2804 2796 y Fw(n)2909 2784 y FB(eine)30 b(stetige)g(Line)l(arform)515 2940 y FA(')569 2952 y Fw(y)638 2940 y Fz(2)e FA(E)787 2910 y Fv(0)840 2940 y FB(.)33 b(Zeige:)64 b FA(y)31 b Fz(7!)d FA(')1414 2952 y Fw(y)1483 2940 y FC(:)h FA(`)1570 2910 y Fv(1)1668 2940 y Fz(!)g FC(\()p FA(`)1847 2910 y Fx(1)1884 2940 y FC(\))1916 2910 y Fv(0)2002 2940 y FB(ist)j(ein)h(isometrischer)i (Isomorphismus.)f(Der)f(Dual-)515 3040 y(r)l(aum)c(von)59 b FA(`)951 3010 y Fx(1)1047 3040 y FB(ist)30 b(also)60 b FA(`)1398 3010 y Fv(1)1497 3040 y FB(.)515 3313 y FD(Aufgab)s(e)42 b(2.1.7.)j FB(Sei)68 b Fz(\0001)38 b FA(<)g(a)h(<)f(b)g(<)g Fz(1)14 b FA(;)28 b(E)44 b FC(=)38 b FA(C)6 b FC([)p FA(a;)14 b(b)p FC(])29 b FB(.)39 b(Sei)68 b FA(k)41 b Fz(2)e FA(C)6 b FC([)p FA(a;)14 b(b)p FC(])29 b FB(.)39 b(Dann)f(de\014-)515 3428 y(niert)60 b FA(')802 3440 y Fw(k)843 3428 y FC(\()p FA(f)9 b FC(\))26 b(=)1073 3361 y Fr(R)1128 3382 y Fw(b)1112 3458 y(a)1175 3428 y FA(f)9 b FC(\()p FA(t)p FC(\))p FA(k)s FC(\()p FA(t)p FC(\))26 b(dt)61 b FB(eine)32 b(stetige)f(Line)l(arform)62 b FA(')2585 3440 y Fw(k)2651 3428 y Fz(2)26 b FA(C)6 b FC([)p FA(a;)14 b(b)p FC(])2960 3398 y Fv(0)3044 3428 y FB(und)30 b(es)i(gilt)60 b Fz(k)p FA(')3580 3440 y Fw(k)3621 3428 y Fz(k)25 b FC(=)515 3486 y Fr(R)570 3506 y Fw(b)554 3582 y(a)617 3553 y Fz(j)p FA(k)s FC(\()p FA(t)p FC(\))p Fz(j)f FC(dt)30 b FB(.)515 3846 y FF(Anleitung:)66 b FT(Zu)61 b FR(")28 b(>)f FT(0)62 b(b)s(etrac)m(h)m(te)h FR(f)11 b FT(\()p FR(t)p FT(\))27 b(=)p 2219 3760 166 4 v 28 w FR(k)s FT(\()p FR(t)p FT(\)\()p FO(j)p FR(k)s FT(\()p FR(t)p FT(\))p FO(j)2643 3810 y FM(2)2704 3846 y FT(+)22 b FR(")2848 3810 y FM(2)2887 3846 y FT(\))2925 3810 y FQ(\000)p FM(1)p FI(=)p FM(2)3119 3846 y FT(.)515 4020 y FD(Aufgab)s(e)39 b(2.1.8.)44 b FB(a\))36 b(Sei)66 b FA(E)39 b FC(=)34 b FA(`)1693 3990 y Fx(1)1759 4020 y FB(.)j(Mit)66 b FA(e)2053 4032 y Fw(m)2150 4020 y FC(=)34 b(\(0)p FA(;)14 b(:)g(:)g(:)f FC(1)p FA(;)h FC(0)g FA(:)g(:)g(:)o FC(\))66 b FB(b)l(ezeichnen)36 b(wir)h(den)66 b FA(n)p FB(-ten)515 4161 y(Einheitsvektor.)23 b(Sei)51 b FA(T)34 b Fz(2)23 b(L)p FC(\()p FA(`)1523 4131 y Fx(1)1561 4161 y FC(\))29 b FB(.)22 b(Sei)51 b FA(T)12 b(e)1930 4173 y Fw(m)2015 4161 y FC(=)22 b(\()p FA(a)2178 4173 y Fw(nm)2283 4161 y FC(\))2315 4173 y Fw(n)p Fv(2)p Fs(N)2470 4161 y Fz(2)h FA(`)2583 4131 y Fx(1)2649 4161 y FB(.)f(Dann)f(gilt)51 b FA(T)12 b(x)22 b FC(=)h(\()3367 4082 y Fv(1)3357 4099 y Fr(P)3329 4233 y Fw(m)p Fx(=1)3486 4161 y FA(a)3530 4173 y Fw(nm)3634 4161 y FA(x)3681 4173 y Fw(m)3744 4161 y FC(\))3776 4173 y Fw(n)p Fv(2)p Fs(N)515 4317 y FB(f)540 4321 y(\177)540 4317 y(ur)h(al)t(le)54 b FA(x)23 b Fz(2)h FA(`)1008 4287 y Fx(1)1074 4317 y FB(.)g(Zeige,)i(dass)e(diese)h (Beziehung)g(einen)f(isometrischen)h(Isomorphismus)h(zwischen)515 4454 y Fz(L)p FC(\()p FA(`)639 4424 y Fx(1)676 4454 y FC(\))57 b FB(und)27 b(dem)g(V)-6 b(ektorr)l(aum)27 b(von)g(Matrizen)57 b FA(G)2150 4466 y Fx(1)2211 4454 y FC(=)22 b Fz(f)p FA(A)h FC(=)g(\()p FA(a)2589 4466 y Fw(n;m)2713 4454 y FC(\))2745 4466 y Fw(n;m)p Fv(2)p Fs(N)2979 4454 y FC(:)33 b(sup)3025 4524 y Fw(m)p Fv(2)p Fs(N)3214 4375 y Fv(1)3203 4392 y Fr(P)3184 4526 y Fw(n)p Fx(=1)3323 4454 y Fz(j)p FA(a)3390 4466 y Fw(nm)3494 4454 y Fz(j)23 b FA(<)g Fz(1g)515 4657 y FB(mit)29 b(der)i(Norm)59 b Fz(k)p FA(A)p Fz(k)1223 4669 y Fw(G)1301 4657 y FC(=)33 b(sup)1389 4727 y Fw(m)p Fv(2)p Fs(N)1577 4578 y Fv(1)1567 4595 y Fr(P)1548 4729 y Fw(n)p Fx(=1)1687 4657 y Fz(j)p FA(a)1754 4669 y Fw(nm)1858 4657 y Fz(j)59 b FB(de\014niert.)515 4810 y(b\))31 b(Sei)62 b FA(E)31 b FC(=)26 b FA(c)1009 4822 y Fx(0)1076 4810 y FB(.)32 b(Zeige)g(analo)l(g)h(zu)e(a\))h(dass) 61 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FC(Ben)n(utze)h(den)h(Satz)f(v)n(on)f(Banac)n(h)g (Steinhaus)i(im)f(Zusammenhang)f(mit)i(Aufgab)r(e)g(8.1a\))515 1162 y(bzw.)g(b\).)515 1366 y FD(Aufgab)s(e)36 b(2.3.10.)41 b FB(a\))34 b(Sei)63 b FA(K)34 b Fz(\032)29 b FA(c)1731 1378 y Fx(0)1798 1366 y FB(.)k(Zeige:)64 b FA(K)k FB(ist)33 b(genau)h(dann)f(pr)2925 1370 y(\177)2926 1366 y(akomp)l(akt,)i(wenn)e (es)h(f)3673 1370 y(\177)3673 1366 y(ur)515 1465 y(al)t(le)60 b FA(")23 b(>)f FC(0)59 b FB(ein)g FA(n)1170 1477 y Fx(0)1230 1465 y Fz(2)24 b Fy(N)59 b FB(gibt,)30 b(so)g(dass)60 b Fz(j)p FA(x)2000 1477 y Fw(n)2046 1465 y Fz(j)23 b(\024)g FA(")58 b FB(f)2302 1469 y(\177)2302 1465 y(ur)30 b(al)t(le)60 b FA(n)23 b Fz(\025)g FA(n)2809 1477 y Fx(0)2905 1465 y FB(und)29 b(al)t(le)60 b FA(x)24 b Fz(2)f Fy(K)29 b FB(.)515 1565 y(Hinweis:)44 b(F)924 1569 y(\177)924 1565 y(ur)f(die)h(Notwendigkeit)h(der)f(Be)l(dingung)f(de\014nier)l(e)73 b FA(')2756 1577 y Fw(n)2850 1565 y Fz(2)47 b FA(c)2988 1535 y Fv(0)2988 1586 y Fx(0)3073 1565 y FC(=)g 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FC(\()p FA(`)2005 2048 y Fx(1)2042 2078 y FC(\))2074 2048 y Fv(0)2157 2078 y FB(an)30 b(mit)59 b FA(')2510 2090 y Fw(n)2555 2078 y FC(\()p FA(x)p FC(\))24 b(=)2809 1999 y Fv(1)2799 2016 y Fr(P)2778 2153 y Fw(k)q Fx(=)p Fw(n)2921 2078 y FA(x)2968 2090 y Fw(k)3038 2078 y FB(.)515 2382 y FD(Aufgab)s(e)d (2.3.11.)31 b(\(Individuelle)19 b(W)-8 b(ac)m(hstumssc)m(hrank)m(e)23 b(impliziert)d(gleic)m(hm)3335 2386 y(\177)3336 2382 y(a\031ige)f(W)-8 b(ac)m(hs-)515 2481 y(tumssc)m(hrank)m(e.)30 b FB(Seien)59 b FA(E)5 b(;)14 b(F)71 b FB(normierte)30 b(V)-6 b(ektorr)2277 2485 y(\177)2278 2481 y(aume,)30 b(wob)l(ei)60 b FA(E)k FB(vol)t(lst)3092 2485 y(\177)3093 2481 y(andig)32 b(ist.)515 2581 y(a\))27 b(Sei)57 b FA(H)29 b Fz(\032)23 b(L)p FC(\()p FA(E)5 b(;)14 b(F)e FC(\))30 b FB(.)d(Ge)l(geb)l(en)h(sei)f(eine)h(F)-6 b(olge)28 b(von)f(F)-6 b(unktionen)55 b FA(\032)2835 2593 y Fw(k)2899 2581 y FC(:)23 b FA(H)30 b Fz(!)23 b Fy(R)3210 2593 y Fx(+)3265 2581 y FC(\()p FA(k)k Fz(2)c Fy(N)p FC(\))29 b FB(.)f(F)3673 2585 y(\177)3673 2581 y(ur)515 2681 y(al)t(le)61 b FA(x)25 b Fz(2)g FA(E)65 b FB(geb)l(e)32 b(es)e(ein)61 b FA(M)33 b Fz(\025)24 b FC(0)14 b FA(;)27 b(k)h Fz(2)d Fy(N)60 b FB(der)l(art)31 b(dass)61 b Fz(k)p FA(T)12 b(x)p Fz(k)23 b(\024)h FA(M)9 b(p)2909 2693 y Fw(k)2950 2681 y FC(\()p FA(T)j FC(\))59 b FB(f)3159 2685 y(\177)3159 2681 y(ur)31 b(al)t(le)61 b FA(T)36 b Fz(2)25 b FA(H)36 b FB(.)515 2780 y FD(Zeige:)28 b FB(Es)i(gibt)59 b FA(M)32 b Fz(\025)23 b FC(0)14 b FA(;)27 b(k)f Fz(2)d Fy(N)29 b FB(,)i(so)f(dass)1501 2971 y Fz(k)p FA(T)12 b Fz(k)21 b(\024)i FA(M)9 b(p)1887 2983 y Fw(k)1927 2971 y FC(\()p FA(T)j FC(\))84 b FB(f)2161 2975 y(\177)2161 2971 y(ur)30 b(al)t(le)86 b FA(T)34 b Fz(2)24 b FA(H)29 b(:)515 3162 y FB(b\))39 b(Sei)68 b FC(\()p FA(T)885 3174 y Fw(n)930 3162 y FC(\))962 3174 y Fw(n)p Fv(2)p Fs(N)1133 3162 y Fz(\032)39 b(L)p FC(\()p FA(E)5 b(;)14 b(F)e FC(\))30 b FB(.)39 b(Zu)f(je)l(dem)69 b FA(x)40 b Fz(2)g FA(E)73 b FB(geb)l(e)39 b(es)68 b FA(k)42 b Fz(2)e Fy(N)14 b FA(;)27 b(M)48 b Fz(\025)39 b FC(0)67 b FB(der)l(art,)40 b(dass)515 3262 y Fz(k)p FA(T)606 3274 y Fw(n)650 3262 y FA(x)p Fz(k)23 b(\024)g FA(M)9 b(n)990 3232 y Fw(k)1089 3262 y FB(f)1114 3266 y(\177)1114 3262 y(ur)30 b(al)t(le)60 b FA(n)23 b Fz(2)g Fy(N)29 b FB(.)515 3362 y FD(Zeige)37 b FB(Die)h(F)-6 b(olge)69 b FC(\()p FA(T)1274 3374 y Fw(n)1319 3362 y FC(\))1351 3374 y Fw(n)p Fv(2)p Fs(N)1550 3362 y FB(ist)38 b FD(p)s(olynomial)j(b)s(esc)m(hr)2446 3366 y(\177)2447 3362 y(ankt)p FB(,)e(d.h.)h(es)e(gibt)68 b FA(k)41 b Fz(2)e Fy(N)14 b FA(;)27 b(M)47 b Fz(\025)38 b FC(0)515 3461 y FB(der)l(art,)30 b(dass)1555 3573 y Fz(k)p FA(T)1646 3585 y Fw(n)1690 3573 y Fz(k)23 b(\024)g FA(M)9 b(n)1983 3539 y Fw(k)2108 3573 y FB(f)2133 3577 y(\177)2133 3573 y(ur)30 b(al)t(le)86 b FA(n)23 b Fz(2)g Fy(N)g FA(:)515 3736 y FB(c\))33 b(Sei)64 b FA(T)41 b FC(:)30 b([0)p FA(;)14 b Fz(1)p FC(\))30 b Fz(!)g(L)p FC(\()p FA(E)5 b(;)14 b(F)e FC(\))63 b FB(eine)34 b(A)n(bbildung.)h(F) 2299 3740 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Fz(2)26 b Fy(N)60 b FB(so)32 b(dass)61 b FA(x)3025 4632 y Fw(n)3096 4620 y FC(=)26 b(0)60 b FB(f)3314 4624 y(\177)3314 4620 y(ur)31 b(al)t(le)61 b FA(n)26 b Fz(\025)515 4720 y FA(n)565 4732 y Fx(0)602 4720 y Fz(g)53 b FB(der)25 b(V)-6 b(ektorr)l(aum)24 b(al)t(ler)i(F)-6 b(olgen)25 b(mit)f(end)t(lichem)j(T)-6 b(r)2352 4724 y(\177)2353 4720 y(ager)25 b(versehen)h(mit)e(der)h(Supr) l(emumnorm.)515 4820 y(Gib)30 b(eine)f(F)-6 b(olge)59 b FC(\()p FA(T)1176 4832 y Fw(m)1239 4820 y FC(\))1271 4832 y Fw(m)p Fv(2)p Fs(N)1444 4820 y Fz(\032)23 b(L)p FC(\()p FA(c)1657 4832 y Fx(00)1728 4820 y FC(\))58 b FB(an,)30 b(so)f(dass)59 b FA(s)17 b Fz(\000)54 b FC(lim)2415 4869 y Fw(m)p Fv(!1)2620 4820 y FA(T)2669 4832 y Fw(m)2755 4820 y FC(=)23 b(0)57 b FB(ab)l(er)69 b FC(sup)3150 4890 y Fw(m)p Fv(2)p Fs(N)3310 4820 y Fz(k)p FA(T)3401 4832 y Fw(m)3463 4820 y Fz(k)22 b FC(=)h Fz(1)29 b FB(.)515 4968 y(Widerspricht)j(das)e(Kor)l(ol)t(lar)h(2.3.7?)p eop end %%Page: 53 57 TeXDict begin 53 56 bop 780 266 a FJ(2.4.)54 b(Der)37 b(Sa)-7 b(tz)38 b(v)n(om)g(stetigen)f(Inversen)632 b FT(53)141 530 y FL(2.4)161 b(Der)53 b(Satz)g(v)l(om)h(stetigen)d(In)l (v)l(ersen)141 749 y FT(Ein)23 b(erstaunlic)m(hes)j(Ph)1000 753 y(\177)1000 749 y(anomen)d(ist)g(die)h(automatisc)m(he)g(Stetigk)m (eit)g(der)f(In)m(v)m(ersen)i(einer)141 870 y(bijektiv)m(en)36 b(stetigen)f(linearen)g(Abbildung)f(zwisc)m(hen)j(Banac)m(hr)2566 874 y(\177)2566 870 y(aumen.)e(Wir)f(b)s(ew)m(ei-)141 990 y(sen)g(zun)461 994 y(\177)461 990 y(ac)m(hst)g(folgenden)f (Hilfssatz.)141 1161 y FS(Lemma)39 b(2.4.1.)j FK(Seien)63 b FR(E)6 b(;)17 b(F)77 b FK(Banachr)1755 1165 y(\177)1756 1161 y(aume,)63 b FR(T)41 b FO(2)28 b(L)p FT(\()p FR(E)6 b(;)17 b(F)d FT(\))63 b FK(und)h FR(r)30 b(>)e FT(0)h FK(.)34 b(Gilt)141 1344 y FT(\(2.10\))920 b FR(B)5 b FT(\(0)p FR(;)17 b FT(2)p FR(r)s FT(\))27 b FO(\032)p 1787 1257 367 4 v 28 w FR(T)14 b(B)5 b FT(\(0)p FR(;)17 b FT(1\))27 b FR(;)141 1527 y FK(so)35 b(ist)64 b FR(B)5 b FT(\(0)p FR(;)17 b(r)s 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TeXDict begin 55 58 bop 780 266 a FJ(2.4.)54 b(Der)37 b(Sa)-7 b(tz)38 b(v)n(om)g(stetigen)f(Inversen)632 b FT(55)141 530 y FS(v)m(on)65 b FR(T)43 b FS(.)31 b FT(Aussage)g (\(2.12\))f(b)s(esagt)h(gerade,)g(dass)61 b FR(G)p FT(\()p FR(T)14 b FT(\))60 b(abgesc)m(hlossen)33 b(in)60 b FR(E)25 b FO(\002)18 b FR(F)141 651 y FT(ist.)141 987 y FS(Bew)m(eis.)32 b FT(Die)25 b(Abbildung)57 b FR(\036)27 b FT(:)h FR(G)p FT(\()p FR(T)14 b FT(\))27 b FO(!)g FR(E)c(;)33 b FT(\()p FR(x;)17 b(T)d(x)p FT(\))28 b FO(7!)f FR(x)56 b FT(ist)26 b(stetig)h(und)f(bijektiv.)141 1107 y(Damit)33 b(ist)h(die)g(in)m(v)m (erse)i(Abbildung)64 b FR(\036)1631 1071 y FQ(\000)p FM(1)1754 1107 y FT(:)29 b FR(x)h FO(7!)f FT(\()p FR(x;)17 b(T)d(x)p FT(\))63 b(stetig.)34 b(F)-8 b(olglic)m(h)33 b(ist)h(auc)m(h)141 1227 y FR(T)76 b FT(stetig.)p 3308 1227 4 66 v 3312 1165 59 4 v 3312 1227 V 3370 1227 4 66 v 141 1471 a(Der)39 b(Satz)f(v)m(om)i(abgesc)m(hlossenen)i(Graphen)d 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FR(n)41 b FO(!)h(1)p FT(\))69 b(so)41 b(k)m(on)m(v)m(ergieren)515 4503 y(die)32 b(L)732 4507 y(\177)732 4503 y(osungen)61 b FR(x)1189 4518 y FI(n)1297 4503 y FT(v)m(on)g FR(T)14 b(x)1635 4518 y FI(n)1710 4503 y FT(=)27 b FR(y)1861 4518 y FI(n)1968 4503 y FT(gegen)32 b(die)f(L)2454 4507 y(\177)2454 4503 y(osung)61 b FR(x)g FT(v)m(on)g FR(T)14 b(x)28 b FT(=)f FR(y)33 b FT(.)e(Damit)515 4623 y(ist)39 b(das)h(Problem)g FS(w)m(ohlgestellt)g FT(im)f(Sinne)h(v)m(on)g(Hadamard:)g(Man)f(hat)g (Existenz)515 4744 y(und)29 b(Eindeutigk)m(eit)i(so)m(wie)e(stetige)h (Abh)2045 4748 y(\177)2045 4744 y(angigk)m(eit)f(v)m(on)h(den)f (Eingangsdaten.)g(In)g(der)515 4864 y(Aufgab)s(e)j(2.1.11)f(wurde)i (gezeigt,)g(dass)g(die)g(Menge)g(der)g(bijektiv)m(en)h(Op)s(eratoren)e (of-)515 4984 y(fen)g(in)62 b FO(L)p FT(\()p FR(E)6 b(;)17 b(F)d FT(\))61 b(ist.)33 b(F)1452 4988 y(\177)1449 4984 y(ur)f(unser)i(Problem)f(b)s(edeutet)h(dies,)g(dass)f(W)-8 b(ohlgestelltheit)p eop end %%Page: 57 61 TeXDict begin 57 60 bop 675 266 a FJ(2.5.)55 b(Quotientenr)1557 262 y(\177)1554 266 y(aume)38 b(und)g(Pr)n(ojektionen)529 b FT(57)141 530 y(v)m(on)74 b(\()p FR(P)14 b FT(\))73 b(stabil)45 b(bzgl.)f(kleiner)i(St)1535 534 y(\177)1535 530 y(orungen)f(ist:)g(Ist)74 b(\()p FR(P)14 b FT(\))72 b(w)m(ohlgestellt,)47 b(so)d(gibt)141 651 y(es)66 b FR(")32 b(>)h FT(0)c(,)36 b(so)g(dass)66 b(\()p FR(P)14 b FT(\))64 b(w)m(ohlgestellt)37 b(bleibt,)g(w)m(enn)66 b FR(T)79 b FT(durc)m(h)66 b FR(T)38 b FT(+)24 b FR(S)71 b FT(ersetzt)141 771 y(wird,)28 b(w)m(ob)s(ei)57 b FR(S)33 b FO(2)28 b(L)p FT(\()p FR(E)6 b(;)17 b(F)d FT(\))55 b(mit)i FO(k)p FR(S)6 b FO(k)27 b FR(<)g(")i FT(.)e(Sc)m(hlie\031lic)m(h)i(sagt)e(der)h(Satz) f(2.4.8,)f(dass)141 891 y(auc)m(h)31 b(die)g(Eigensc)m(haft)h(dass)f(f) 1287 895 y(\177)1284 891 y(ur)g(alle)59 b FR(y)31 b FO(2)d FR(F)74 b FT(eine)31 b(L)2181 895 y(\177)2181 891 y(osung)60 b FR(x)g FT(existiert)32 b(\(die)f(nic)m(h)m(t)141 1012 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1769 y FD(Aufgab)s(e)k(2.4.10.)40 b FB(Zeige,)33 b(dass)f(die)g(Menge)g(der)g(injektiven)g(Op)l(er)l(ator)l(en)f(nicht)h (o\013en)f(in)61 b Fz(L)p FC(\()p FA(c)3309 1781 y Fx(0)3347 1769 y FC(\))141 1868 y FB(ist.)141 1968 y Fl(Anleitung:)29 b FB(De\014nier)l(e)59 b FA(T)961 1980 y Fw(n)1029 1968 y Fz(2)23 b(L)p FC(\()p FA(c)1232 1980 y Fx(0)1270 1968 y FC(\))59 b FB(dur)l(ch)1125 2198 y FC(\()p FA(T)1206 2210 y Fw(n)1251 2198 y FA(x)p FC(\))1330 2210 y Fw(k)1395 2198 y FC(=)1483 2080 y Fr(\032)1598 2114 y Fx(1)p 1596 2128 37 4 v 1596 2176 a Fw(k)1643 2147 y FA(x)1690 2159 y Fw(k)1814 2147 y FB(wenn)83 b FA(k)26 b Fz(\024)d FA(n)1586 2247 y FC(0)186 b FB(wenn)83 b FA(k)26 b(>)d(n)29 b(:)141 2423 y FB(Zeige,)i(dass)60 b FA(T)648 2435 y Fw(n)752 2423 y FB(ge)l(gen)30 b(einen)f(injektiven)i(Op)l(er)l(ator)f(konver)l (giert.)141 2602 y FD(Aufgab)s(e)i(2.4.11.)39 b FB(Seien)59 b FA(E)5 b(;)14 b(F)71 b FB(Banachr)1617 2606 y(\177)1618 2602 y(aume.)141 2701 y(a\))36 b(Sei)66 b FA(T)45 b Fz(2)34 b(L)p FC(\()p FA(E)5 b(;)14 b(F)e FC(\))30 b FB(.)36 b(Zeige,)h(dass)66 b FA(T)76 b FB(genau)36 b(dann)g(injektiv)h(ist)e (und)h(ab)l(geschlossenes)h(Bild)141 2801 y(hat,)31 b(wenn)e(es)h(ein) 59 b FA(c)23 b(>)g FC(0)58 b FB(gibt,)31 b(der)l(art)f(dass)1318 2981 y Fz(k)p FA(T)12 b(x)p Fz(k)21 b(\025)i FA(c)p Fz(k)p FA(x)p Fz(k)84 b FC(\()p FA(x)24 b Fz(2)f FA(E)5 b FC(\))30 b FA(:)141 3160 y FB(b\))g(Zeige,)h(dass)g(die)f(Menge)875 3340 y Fz(f)p FA(T)k Fz(2)23 b(L)p FC(\()p FA(E)5 b(;)14 b(F)e FC(\))24 b(:)f FA(T)41 b FB(ist)30 b(injektiv,)h FA(T)12 b(E)34 b FB(ab)l(geschlossen)q Fz(g)141 3520 y FB(o\013en)c(in)59 b Fz(L)p FC(\()p FA(E)5 b(;)14 b(F)e FC(\))60 b FB(ist.)141 3852 y FL(2.5)161 b(Quotien)l(tenr)1361 3859 y(\177)1362 3852 y(aume)51 b(und)i(Pro)9 b(jektionen)141 4071 y FT(Sei)75 b FR(E)80 b FT(ein)46 b(normierter)f(V)-8 b(ektorraum)46 b(und)75 b FR(F)87 b FT(ein)46 b(abgesc)m(hlossener)i(T) -8 b(eilraum.)141 4191 y(Mit)64 b FR(E)6 b(=F)77 b FT(b)s(ezeic)m(hnen) 37 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b(Banachr)-5 b(aum.)515 875 y FS(Bew)m(eis.)31 b FT(Sei)67 b FR(x)1158 890 y FI(n)1241 875 y FO(2)36 b FR(E)f FT(,)i(so)h(dass) 1916 781 y FQ(1)1899 800 y FG(P)1885 960 y FI(n)p FM(=1)2034 875 y FO(k)p FR(q)t FT(\()p FR(x)2224 890 y FI(n)2271 875 y FT(\))p FO(k)e FR(<)f FO(1)29 b FT(.)37 b(Wir)g(m)2985 879 y(\177)2982 875 y(ussen)i(zeigen,)g(dass)546 1017 y FQ(1)529 1037 y FG(P)515 1196 y FI(n)p FM(=1)664 1111 y FR(q)t FT(\()p FR(x)804 1126 y FI(n)851 1111 y FT(\))61 b(k)m(on)m(v)m(ergiert.)34 b(Es)e(gibt)60 b FR(y)1895 1126 y FI(n)1969 1111 y FO(2)29 b FR(F)74 b FT(so)31 b(dass)62 b FO(k)p FR(x)2665 1126 y FI(n)2732 1111 y FO(\000)20 b FR(y)2877 1126 y FI(n)2923 1111 y FO(k)28 b(\024)g(k)p FR(q)t FT(\()p FR(x)3296 1126 y FI(n)3343 1111 y FT(\))p FO(k)19 b FT(+)h(2)3595 1075 y FQ(\000)p FI(n)3725 1111 y FT(.)515 1348 y(Damit)35 b(ist)1019 1253 y FQ(1)1002 1273 y FG(P)988 1432 y FI(n)p FM(=1)1137 1348 y FO(k)p FR(x)1242 1363 y FI(n)1314 1348 y FO(\000)24 b FR(y)1463 1363 y FI(n)1510 1348 y FO(k)32 b FR(<)h FO(1)c FT(.)35 b(Sei)65 b FR(z)38 b FT(=)2303 1253 y FQ(1)2286 1273 y FG(P)2272 1432 y FI(n)p FM(=1)2405 1348 y FT(\()p FR(x)2498 1363 y FI(n)2570 1348 y FO(\000)24 b FR(y)2719 1363 y FI(n)2766 1348 y FT(\))32 b(=)67 b(lim)2945 1407 y FI(m)p FQ(!1)3200 1253 y FI(m)3179 1273 y FG(P)3165 1432 y FI(n)p FM(=1)3298 1348 y FT(\()p FR(x)3391 1363 y FI(n)3462 1348 y FO(\000)25 b FR(y)3612 1363 y FI(n)3658 1348 y FT(\))k(.)515 1584 y(Dann)j(ist)h(w)m(egen)h(der)f(Stetigk)m (eit)h(v)m(on)62 b FR(q)21 b(;)33 b(q)t FT(\()p FR(z)t FT(\))28 b(=)2484 1489 y FQ(1)2467 1509 y FG(P)2453 1668 y FI(n)p FM(=1)2602 1584 y FR(q)t FT(\()p FR(x)2742 1599 y FI(n)2790 1584 y FT(\))h(.)p 3682 1584 4 66 v 3686 1521 59 4 v 3686 1584 V 3744 1584 4 66 v 515 1839 a FS(Satz)46 b(2.5.2.)f FK(Sei)71 b FR(E)77 b FK(ein)41 b(Banachr)-5 b(aum.)40 b(Sei)70 b FR(P)84 b FK(eine)41 b(Pr)-5 b(ojektion)41 b(mit)h(Bild)70 b FR(F)515 1959 y FK(und)63 b(Kern)34 b FR(G)29 b FK(.)34 b(Dann)f(ist)63 b FR(P)76 b 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b(Einige)d(An)m(w)m(endungen,)j(wie)d(z.B.)g(die)g(Theorie)g (der)g(v)m(ektor-w)m(ertigen)141 2677 y(analytisc)m(hen)35 b(F)-8 b(unktionen,)33 b(w)m(erden)i(gegeb)s(en.)141 3140 y FL(3.1)161 b(Der)53 b(F)-13 b(ortsetzungssatz)50 b(v)l(on)j(Hahn-Banac)l(h)141 3362 y FT(In)f(diesem)h(Absc)m(hnitt)g(b) s(ew)m(eisen)h(wir)d(mehrere)i(F)-8 b(ortsetzungss)2671 3366 y(\177)2671 3362 y(atze)53 b(\(die)f(in)g(der)141 3482 y(Literatur)47 b(alle)g(den)h(Namen)g(Hahn-Banac)m(h)f(tragen\).)g (Sie)g(gehen)h(alle)f(auf)g(einen)141 3603 y(rein)31 b(algebraisc)m(hen)g(Satz)f(\(Theorem)h(3.1.2\))f(zur)1998 3607 y(\177)1995 3603 y(uc)m(k.)h(Sein)g(Bew)m(eis)h(b)s(eruh)m(t)f (auf)e(dem)141 3723 y(Zorn'sc)m(hen)34 b(Lemma,)f(dessen)i(Aussage)f (wir)f(kurz)g(wiederholen.)141 3965 y(Sei)60 b(\()p FR(M)39 b FO(\026)p FT(\))60 b(eine)31 b FS(partiell)k(geordnete)g(Menge)p FT(,)c(d.h.)61 b FO(\026)e FT(ist)31 b(eine)g(Relation)g(mit)141 4086 y(den)i(b)s(eiden)h(Eigensc)m(haften)141 4310 y(\(3.1\))400 b FR(x)28 b FO(\026)g FR(x)98 b FT(f)1116 4314 y(\177)1113 4310 y(ur)32 b(alle)98 b FR(x)28 b FO(2)g FR(M)109 b FS(\(Re\015exivit)2376 4315 y(\177)2377 4310 y(at\))97 b FT(und)141 4639 y(\(3.2\))378 b FR(x)28 b FO(\026)g FR(y)101 b FT(und)d FR(x)28 b FO(\026)g FR(z)k FO(\))c FR(x)g FO(\026)g FR(z)102 b FS(\(T)-9 b(ransitivit)2603 4644 y(\177)2604 4639 y(at\))27 b FR(:)141 4864 y FT(Eine)49 b(T)-8 b(eilmenge)79 b FR(K)84 b FT(v)m(on)77 b FR(M)88 b FT(hei\031t)48 b FS(total)55 b(geordnet)p FT(,)48 b(falls)g(f)2763 4868 y(\177)2760 4864 y(ur)f(alle)78 b FR(a;)17 b(b)54 b FO(2)141 4984 y FR(K)24 b(;)33 b(a)28 b FO(\026)g FR(b)58 b FT(o)s(der)g FR(b)28 b FO(\026)g FR(a)58 b FT(gilt.)29 b(Ein)g(Elemen)m(t)60 b FR(S)j FT(v)m(on)c FR(M)68 b FT(hei\031t)29 b FS(ob)s(ere)k(Sc)m(hrank)m(e)1711 5233 y FT(59)p eop end %%Page: 60 64 TeXDict begin 60 63 bop 515 266 a FT(60)188 b FJ(3.)55 b(Der)37 b(Sa)-7 b(tz)38 b(v)n(on)g(Hahn-Bana)n(ch)f(und)h(seine)f(K)m (onsequenzen)515 530 y FT(der)c(T)-8 b(eilmenge)63 b 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4984 y(\(3.12\))599 b FR(p)p FT(\()p FR(x)23 b FT(+)f FR(y)t FT(\))k FO(\024)j FR(p)p FT(\()p FR(x)p FT(\))22 b(+)g FR(p)p FT(\()p FR(y)t FT(\))96 b(\()p FR(x;)17 b(y)31 b FO(2)d FR(E)6 b FT(\))28 b FR(:)p eop end %%Page: 63 67 TeXDict begin 63 66 bop 565 266 a FJ(3.1.)55 b(Der)37 b(F)m(or)-7 b(tsetzungssa)g(tz)37 b(v)n(on)h(Hahn-Bana)n(ch)418 b FT(63)141 530 y(Jede)37 b(Halbnorm)g(ist)g(also)f(sublinear.)i(Ist)f (in)g(Theorem)g(3.1.4)65 b FR(p)h FT(sogar)36 b(eine)h(Halb-)141 651 y(norm,)c(so)g(erh)678 655 y(\177)678 651 y(alt)g(man)f(aus)h (\(3.10\))f(die)h(st)1730 655 y(\177)1730 651 y(ark)m(ere)h(Ungleic)m (h)m(ung)141 867 y(\(3.13\))849 b FO(j)p FR(\036)p FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)27 b(\024)h FR(p)p FT(\()p FR(x)p FT(\))98 b(\()p FR(x)28 b FO(2)g FR(E)6 b FT(\))27 b FR(:)141 1083 y FT(Man)51 b(b)s(eac)m(h)m(te)g(dazu,)g(dass)g(es)g(zu)g (jedem)80 b FR(z)63 b FO(2)58 b FN(C)79 b FT(ein)h FR(\022)61 b FO(2)d FN(R)80 b FT(gibt)50 b(so)g(dass)141 1203 y(Re)17 b(\()p FR(e)356 1167 y 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y(folgendes)i(gilt:)f(Sind)61 b FR(F)s(;)17 b(G)61 b FT(abgesc)m(hlossene)35 b(Un)m(terr)2194 4507 y(\177)2194 4503 y(aume,)e(so)f(dass)62 b FR(E)34 b FT(=)27 b FR(F)35 b FO(\010)21 b FR(G)29 b FT(,)141 4623 y(dann)i(gilt)61 b(dim)17 b FR(F)41 b(<)28 b FO(1)60 b FT(o)s(der)g(dim)17 b FR(G)28 b(<)f FO(1)i FT(.)i(Auf)g(der)h(anderen)g(Seite)g(w)m(erden)h (wir)141 4744 y(sehen,)42 b(dass)g(in)f(Hilb)s(ertr)1126 4748 y(\177)1126 4744 y(aumen)g(jeder)h(abgesc)m(hlossene)h(Un)m (terraum)f(pro)5 b(jezierbar)141 4864 y(ist)33 b(\(siehe)h(Kapitel)f (5\).)p eop end %%Page: 66 70 TeXDict begin 66 69 bop 515 266 a FT(66)188 b FJ(3.)55 b(Der)37 b(Sa)-7 b(tz)38 b(v)n(on)g(Hahn-Bana)n(ch)f(und)h(seine)f(K)m (onsequenzen)515 530 y FT(Sei)75 b FR(E)80 b FT(ein)45 b(normierter)h(V)-8 b(ektorraum)45 b(und)75 b FR(F)88 b FT(ein)45 b(abgesc)m(hlossener)j(T)-8 b(eilraum.)515 651 y(Mit)64 b FR(E)6 b(=F)77 b FT(b)s(ezeic)m(hnen)36 b(wir)f(den)g(Quotien)m(tenraum)h(und)e(mit)64 b FR(q)35 b FT(:)30 b FR(E)37 b 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FM(=1)2034 1907 y FO(k)p FR(q)t FT(\()p FR(x)2224 1922 y FI(n)2271 1907 y FT(\))p FO(k)e FR(<)f FO(1)29 b FT(.)37 b(Wir)g(m)2985 1911 y(\177)2982 1907 y(ussen)i(zeigen,)g(dass)546 2049 y FQ(1)529 2069 y FG(P)515 2228 y FI(n)p FM(=1)664 2143 y FR(q)t FT(\()p FR(x)804 2158 y FI(n)851 2143 y FT(\))61 b(k)m(on)m(v)m(ergiert.)34 b(Es)e(gibt)60 b FR(y)1895 2158 y FI(n)1969 2143 y FO(2)29 b FR(F)74 b FT(so)31 b(dass)62 b FO(k)p FR(x)2665 2158 y FI(n)2732 2143 y FO(\000)20 b FR(y)2877 2158 y FI(n)2923 2143 y FO(k)28 b(\024)g(k)p FR(q)t FT(\()p FR(x)3296 2158 y FI(n)3343 2143 y FT(\))p FO(k)19 b FT(+)h(2)3595 2107 y FQ(\000)p FI(n)3725 2143 y FT(.)515 2380 y(Damit)35 b(ist)1019 2285 y FQ(1)1002 2305 y FG(P)988 2464 y FI(n)p FM(=1)1137 2380 y FO(k)p FR(x)1242 2395 y FI(n)1314 2380 y FO(\000)24 b FR(y)1463 2395 y FI(n)1510 2380 y FO(k)32 b FR(<)h FO(1)c FT(.)35 b(Sei)65 b FR(z)38 b FT(=)2303 2285 y FQ(1)2286 2305 y FG(P)2272 2464 y FI(n)p FM(=1)2405 2380 y FT(\()p FR(x)2498 2395 y FI(n)2570 2380 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b FA(E)28 b FC(=)23 b FA(F)30 b Fz(\010)18 b FA(G)30 b FB(.)g(Zeige,)h(dass)938 804 y Fz(k)p FA(x)p Fz(k)1069 816 y Fx(0)1129 804 y FC(:=)23 b Fz(k)p FA(u)p Fz(k)17 b FC(+)h Fz(k)p FA(v)s Fz(k)p FA(;)98 b(x)23 b FC(=)g FA(u)18 b FC(+)g FA(v)s(;)c(u)23 b Fz(2)g FA(F)r(;)14 b(v)27 b Fz(2)c FA(G;)141 978 y FB(eine)318 982 y(\177)319 978 y(aquivalente)31 b(Norm)f(auf)59 b FA(E)64 b FB(bildet.)141 1150 y FD(Aufgab)s(e)32 b(3.2.8.)40 b FB(Sei)60 b FA(E)k FB(ein)30 b(normierter)h(V)-6 b(ektorr)l(aum)29 b(und)59 b FA(F)72 b FB(ein)30 b(ab)l(geschlossener)i(Unter-)141 1250 y(r)l(aum)d(von)60 b FA(E)34 b FB(,)c(so)g(dass)60 b FA(F)35 b Fz(6)p FC(=)23 b FA(E)34 b FB(.)c(Betr)l(achte)h(die)f (Quotientenabbildung)60 b FA(q)26 b FC(:)d FA(E)28 b Fz(!)23 b FA(E)5 b(=F)41 b FB(.)226 1396 y(\(a\))49 b(Zeige,)27 b(dass)e(das)h(Bild)h(der)f(o\013enen)f(Einheitskugel)h(unter)54 b FA(q)j FB(die)26 b(o\013ene)g(Einheitskugel)h(ist.)385 1495 y(Insb)l(esonder)l(e)j(ist)59 b FA(q)j FB(o\013en.)230 1641 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b(Dann)g(ist)g(der)g (Dualraum)60 b FR(E)2792 2773 y FQ(0)2875 2809 y FT(ein)32 b(Banac)m(h-)141 2929 y(raum,)k(und)f(wir)h(k)845 2933 y(\177)845 2929 y(onnen)g(dessen)h(Dualraum)64 b FR(E)2011 2893 y FQ(00)2086 2929 y FT(=)32 b(\()p FR(E)2310 2893 y FQ(0)2333 2929 y FT(\))2371 2893 y FQ(0)2423 2929 y FT(,)k(den)f FS(Bidual)h FT(v)m(on)66 b FR(E)35 b FT(,)141 3049 y(b)s(etrac)m(h)m(ten.)f(Die)f FS(Ausw)m(ertungsabbildung)1325 3257 y FR(j)h FT(:)27 b FR(E)34 b FO(!)27 b FR(E)1764 3216 y FQ(00)1824 3257 y FR(;)49 b(x)29 b FO(7!)e FR(j)2151 3272 y FI(x)141 3465 y FT(ist)j(de\014niert)h(durc)m(h)60 b FR(j)996 3480 y FI(x)1040 3465 y FT(\()p FR(')p FT(\))27 b(=)h FR(')p FT(\()p FR(x)p FT(\))98 b(\()p FR(')27 b FO(2)h FR(E)1905 3429 y FQ(0)1929 3465 y FT(\))h(.)g(Sie)i(ist)f (linear)f(und)h(nac)m(h)h(Korollar)141 3586 y(3.1.6)h(isometrisc)m(h,)j (da)1194 3794 y FO(k)p FR(j)1284 3809 y FI(x)1328 3794 y FO(k)27 b FT(=)59 b(sup)1509 3875 y FI(')p FQ(2)p FI(B)1644 3894 y Fp(E)1692 3880 y Fo(0)1735 3794 y FO(j)p FR(')p FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)27 b FT(=)h FO(k)p FR(x)p FO(k)f FR(;)141 4069 y FT(w)m(ob)s(ei)63 b FR(B)509 4084 y FI(E)565 4065 y Fo(0)653 4069 y FT(die)33 b(duale)g(Einheitskugel)i (b)s(ezeic)m(hnet.)141 4383 y FS(Beispiel)41 b(3.3.1.)i FT(Sei)64 b FR(E)38 b FT(=)31 b FR(c)1314 4398 y FM(0)1382 4383 y FT(.)k(Dann)f(ist)65 b FR(E)1956 4346 y FQ(0)2010 4383 y FT(=)32 b FR(`)2159 4346 y FM(1)2262 4383 y FT(und)64 b FR(E)2566 4346 y FQ(00)2640 4383 y FT(=)31 b FR(`)2788 4346 y FQ(1)2892 4383 y FT(.)k(Man)g(sieh)m(t)141 4503 y(leic)m(h)m(t,)k(dass)f(die)f(Ausw)m(ertungsabbildung)69 b FR(j)41 b FT(:)36 b FR(E)41 b FO(!)34 b FR(E)2317 4467 y FQ(00)2426 4503 y FT(gerade)j(die)h(Ein)m(b)s(ettung)141 4623 y(v)m(on)63 b FR(c)397 4638 y FM(0)498 4623 y FT(in)f FR(`)682 4587 y FQ(1)818 4623 y FT(ist.)141 4864 y(Da)69 b FR(j)48 b FT(:)42 b FR(E)47 b FO(!)42 b FR(E)830 4828 y FQ(00)942 4864 y FT(linear)f(und)h(isometrisc)m(h)h(ist,)e(k)2163 4868 y(\177)2163 4864 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FR(E)83 b FT(isomorph)48 b(zu)g(seinem)h(Bidual)f(sein)h(k)-5 b(ann,)47 b(auc)m(h)i(w)m(enn)g(er)e(nic)m(h)m(t)515 2519 y(re\015exiv)34 b(ist.)515 2836 y FS(Satz)i(3.3.5.)41 b FK(Ein)33 b(ab)-5 b(geschlossener)32 b(T)-7 b(eilr)i(aum)33 b(eines)f(r)-5 b(e\015exiven)33 b(R)-5 b(aumes)34 b(ist)g(r)-5 b(e\015e-)515 2956 y(xiv.)515 3273 y FS(Bew)m(eis.)31 b FT(Sei)61 b FR(E)66 b FT(re\015exiv)33 b(und)61 b FR(F)42 b FO(\032)28 b FR(E)66 b FT(ein)32 b(abgesc)m(hlossener)i(T)-8 b(eilraum)32 b(v)m(on)61 b FR(E)35 b FT(.)515 3393 y(Sei)60 b FR(')27 b FO(2)i FR(F)962 3357 y FQ(00)1033 3393 y FT(.)h(De\014niere)61 b FR( )31 b FO(2)e FR(E)1795 3357 y FQ(00)1897 3393 y FT(durc)m(h)60 b FR( )t FT(\()p FR(x)2357 3357 y FQ(0)2381 3393 y FT(\))27 b(=)h FR(')p FT(\()p FR(x)2707 3357 y FQ(0)2707 3423 y(j)p FI(F)2785 3393 y FT(\))60 b(f)2916 3397 y(\177)2913 3393 y(ur)30 b(alle)60 b FR(x)3296 3357 y FQ(0)3347 3393 y FO(2)28 b FR(E)3519 3357 y FQ(0)3572 3393 y FT(.)i(Da)515 3522 y FR(E)68 b 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FI(p)3277 2763 y FK(ist)141 2884 y(isometrisch)34 b(isomorph)g(zu)64 b FR(`)1280 2847 y FI(q)1347 2884 y FK(.)141 3179 y FS(Bew)m(eis.)32 b FT(Sei)62 b FR(y)31 b FO(2)d FR(`)939 3143 y FI(q)1006 3179 y FT(.)33 b(Aus)g(der)g(H)1505 3183 y(\177)1505 3179 y(oldersc)m(hen)i(Ungleic)m(h)m(ung)f(folgt,)e (dass)1168 3437 y FR(')1232 3452 y FI(y)1274 3437 y FT(\()p FR(x)p FT(\))c(:=)1600 3312 y FQ(1)1563 3342 y FG(X)1569 3551 y FI(n)p FM(=1)1724 3437 y FR(x)1779 3452 y FI(n)1826 3437 y FR(y)1874 3452 y FI(n)2018 3437 y FT(\()p FR(x)g FO(2)g FR(`)2274 3396 y FI(p)2314 3437 y FT(\))141 3711 y(eine)34 b(stetige)f(Linearform)62 b FR(')1247 3726 y FI(y)1316 3711 y FO(2)28 b FT(\()p FR(`)1489 3675 y FI(p)1529 3711 y FT(\))1567 3675 y FQ(0)1652 3711 y FT(de\014niert)33 b(und)1469 3899 y FO(k)p FR(')1583 3914 y FI(y)1625 3899 y FO(k)27 b(\024)h(k)p FR(y)t FO(k)1959 3914 y FI(q)2024 3899 y FR(:)141 4086 y FT(O\013ensic)m(h)m(tlic)m(h)42 b(ist)e(die)f(Abbildung)70 b FR(')38 b FT(:)h FR(`)1786 4050 y FI(q)1863 4086 y FO(!)f FT(\()p FR(`)2080 4050 y FI(p)2119 4086 y FT(\))2157 4050 y FQ(0)2219 4086 y FT(:)h FR(y)j FO(7!)c FR(')2577 4101 y FI(y)2687 4086 y FT(linear.)h(Es)h(bleibt)141 4206 y(zu)35 b(zeigen,)g(dass)64 b FR(')f FT(surjektiv)36 b(und)f(isometrisc)m(h)h(ist.)f(Sei)64 b FR( )34 b FO(2)d FT(\()p FR(`)2702 4170 y FI(p)2741 4206 y FT(\))2779 4170 y FQ(0)2832 4206 y FT(.)j(Setze)64 b FR(y)3226 4221 y FI(n)3303 4206 y FT(=)141 4373 y FR( )t FT(\()p FR(e)291 4388 y FI(n)338 4373 y FT(\))29 b(.)c(Dann)f(gilt)53 b FR( )t FT(\()p FR(x)p FT(\))28 b(=)g FR( )t FT(\()1373 4278 y FQ(1)1355 4298 y FG(P)1342 4457 y FI(n)p FM(=1)1491 4373 y FR(x)1546 4388 y FI(n)1593 4373 y FR(e)1638 4388 y FI(n)1686 4373 y FT(\))f(=)1886 4278 y FQ(1)1869 4298 y FG(P)1855 4457 y FI(n)p FM(=1)2004 4373 y FR(x)2059 4388 y FI(n)2107 4373 y FR(y)2155 4388 y FI(n)2255 4373 y FT(w)m(enn)55 b FR(x)28 b FO(2)g FR(c)2747 4388 y FM(00)2851 4373 y FT(.)c(Wir)h(zeigen,)141 4609 y(dass)63 b(\()452 4514 y FQ(1)435 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651 y(sc)m(h)m(w)m(ac)m (her)k(Kon)m(v)m(ergenz)e(in)69 b FR(E)1741 615 y FQ(0)1833 651 y FT(\(also)g FR(\033)t FT(\()p FR(E)2278 615 y FQ(0)2301 651 y FR(;)17 b(E)2423 615 y FQ(00)2466 651 y FT(\))29 b(-Kon)m(v)m(ergenz\))41 b(folgt)e(nat)3515 655 y(\177)3512 651 y(urlic)m(h)515 771 y(sc)m(h)m(w)m(ac)m(h*-Kon)m(v)m(ergenz,)49 b(ab)s(er)44 b(nic)m(h)m(t)i(umgek)m(ehrt:)h(W)2615 775 y(\177)2615 771 y(ahle)75 b FR(E)54 b FT(=)48 b FR(c)3155 786 y FM(0)3211 771 y FR(;)34 b(e)3317 786 y FI(n)3412 771 y FO(2)49 b FR(E)3605 735 y FQ(0)3677 771 y FT(=)515 891 y FR(`)556 855 y FM(1)676 891 y FT(die)k(Einheitsv)m(ektoren.)i (Dann)c(gilt)81 b FR(\033)t FT(\()p FR(E)2326 855 y FQ(0)2350 891 y FR(;)17 b(E)6 b FT(\))35 b FO(\000)60 b FT(lim)2657 951 y FI(n)p FQ(!1)2858 891 y FR(e)2903 906 y FI(n)3011 891 y FT(=)g(0)81 b(ab)s(er)51 b(es)i(ist)515 1043 y FR(<)27 b(e)663 1058 y FI(n)710 1043 y FR(;)17 b FT(1)-24 b FF(l)28 b FR(>)p FT(=)f(1)62 b(f)1153 1047 y(\177)1150 1043 y(ur)32 b(alle)62 b FR(n)28 b FO(2)g FN(N)62 b FT(w)m(ob)s(ei)h(1) -24 b FF(l)28 b FO(2)g FR(E)2350 1006 y FQ(00)2420 1043 y FT(=)f FR(`)2564 1006 y FQ(1)2701 1043 y FT(die)33 b(Konstan)m(t-1-F)-8 b(olge)31 b(ist.)515 1283 y(Aus)i(dem)g (Diagonalfolgen-Prinzip)g(erhalten)g(wir)g(folgenden)g(wic)m(h)m(tigen) i(Satz:)515 1481 y FS(Satz)28 b(3.4.4.)36 b FK(Sei)56 b FR(E)63 b FK(ein)27 b(sep)-5 b(ar)g(abler)26 b(Banachr)-5 b(aum.)26 b(Dann)h(b)-5 b(esitzt)27 b(je)-5 b(de)27 b(b)-5 b(eschr)3568 1485 y(\177)3569 1481 y(ank-)515 1601 y(te)35 b(F)-7 b(olge)33 b(in)64 b FR(E)1109 1565 y FQ(0)1197 1601 y FK(eine)34 b(schwach*-konver)-5 b(gente)32 b(T)-7 b(eilfolge.)515 1919 y FS(Bew)m(eis.)31 b FT(Sei)71 b FR(')1171 1934 y FI(n)1259 1919 y FO(2)42 b FR(E)1445 1883 y FQ(0)1485 1919 y FR(;)33 b FO(k)p FR(')1659 1934 y FI(n)1706 1919 y FO(k)41 b(\024)h FR(c)29 b FT(.)41 b(Sei)71 b FO(f)p FR(x)2355 1934 y FI(m)2463 1919 y FT(:)41 b FR(m)h FO(2)g FN(N)p FO(g)70 b FT(dic)m(h)m(t)42 b(in)70 b FR(E)35 b FT(.)41 b(Nac)m(h)515 2039 y(dem)f(Diagonalisationsprinzip) h(Lemma)f(1.6.1)g(gibt)f(es)i(eine)g(T)-8 b(eilfolge)69 b(\()p FR(')3431 2054 y FI(n)3474 2066 y Fp(k)3516 2039 y FT(\))3554 2054 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)3725 2039 y FT(,)515 2160 y(so)38 b(dass)91 b(lim)888 2222 y FI(k)r FQ(!1)1084 2160 y FR(')1148 2175 y FI(n)1191 2187 y Fp(k)1233 2160 y FT(\()p FR(x)1326 2175 y FI(m)1393 2160 y FT(\))68 b(f)1532 2164 y(\177)1529 2160 y(ur)38 b(alle)68 b FR(m)38 b FO(2)g FN(N)67 b FT(existiert.)40 b(Aus)f(Satz)g(2.3.3)f(folgt,)g (dass)537 2315 y(lim)515 2378 y FI(k)r FQ(!1)711 2315 y FR(')775 2330 y FI(n)818 2342 y Fp(k)860 2315 y FT(\()p FR(x)p FT(\))28 b(=:)g FR(')p FT(\()p FR(x)p FT(\))62 b(f)1440 2319 y(\177)1437 2315 y(ur)32 b(alle)62 b FR(x)28 b FO(2)g FR(E)68 b FT(existiert)34 b(und)63 b FR(')27 b FO(2)h FR(E)2951 2279 y FQ(0)3004 2315 y FT(.)p 3682 2315 4 66 v 3686 2253 59 4 v 3686 2315 V 3744 2315 4 66 v 515 2633 a FS(Bemerkung)34 b(3.4.5.)39 b FT(a\))28 b(Sei)58 b FR(E)63 b FT(separab)s(el.)29 b(Dann)f(gibt)g(es)h(eine)g (Metrik)g(auf)58 b FR(B)3642 2597 y FQ(0)3637 2658 y FI(E)3725 2633 y FT(,)515 2753 y(die)38 b(die)h(Sc)m(h)m(w)m(ac)m (h*-Kon)m(v)m(ergenz)j(de\014niert.)d(Sei)f(et)m(w)m(a)69 b FR(x)2710 2768 y FI(m)2813 2753 y FO(2)38 b FR(B)2991 2768 y FI(E)3080 2753 y FT(,)g(so)g(dass)68 b FO(f)p FR(x)3622 2768 y FI(m)3725 2753 y FT(:)515 2874 y FR(m)28 b FO(2)g FN(N)p FO(g)61 b FT(total)32 b(in)62 b FR(E)68 b FT(ist.)33 b(Man)g(de\014niere)1237 3163 y FR(d)p FT(\()p FR(';)17 b( )t FT(\))27 b(=)1711 3038 y FQ(1)1674 3068 y FG(X)1670 3277 y FI(m)p FM(=1)1839 3163 y FT(min)q FO(f)p FT(2)2101 3122 y FQ(\000)p FI(m)2222 3163 y FO(j)p FR(')p FT(\()p FR(x)2407 3178 y FI(m)2473 3163 y FT(\))22 b FO(\000)h FR( )t FT(\()p FR(x)2793 3178 y FI(m)2860 3163 y FT(\))p FO(jg)k FR(;)515 3463 y FT(b\))39 b(Satz)h(3.4.4)f(sagt) h(somit,)g(dass)70 b FR(B)1952 3427 y FQ(0)1947 3488 y FI(E)2076 3463 y FT(bzgl.)40 b(der)g(Sc)m(h)m(w)m(ac)m(h*-T)-8 b(op)s(ologie)41 b(k)m(ompakt)515 3583 y(ist.)515 3704 y(c\)Auf)28 b(dem)i(gesam)m(ten)f(Raum)58 b FR(E)1802 3667 y FQ(0)1883 3704 y FT(ist)29 b(die)58 b FR(\033)t FT(\()p FR(E)2372 3667 y FQ(0)2395 3704 y FR(;)17 b(E)6 b FT(\)-T)-8 b(op)s(ologie)57 b(nie)29 b(metrisierbar,)515 3824 y(w)m(enn)67 b(dim)17 b FR(E)42 b FT(=)34 b FO(1)29 b FT(.)37 b(Das)g(ist)g(eine)h(einfac)m(he)g(Konsequenz)h(des)f(Satzes) g(v)m(on)f(Baire)515 3944 y(\(siehe)26 b([W)q(]\).)f(Wir)g(w)m(ollen)i (an)e(dieser)h(Stelle)h(ab)s(er)e(auf)g(allgemeine)h(top)s(ologisc)m (he)g(Aus-)515 4065 y(sagen)33 b(v)m(erzic)m(h)m(ten.)515 4306 y(In)g(re\015exiv)m(en)i(R)1145 4310 y(\177)1145 4306 y(aumen)e(gilt)g(Satz)g(3.4.4)f(auc)m(h)h(f)2346 4310 y(\177)2343 4306 y(ur)g(die)g(sc)m(h)m(w)m(ac)m(he)j(Kon)m(v)m (ergenz.)e(Um)515 4426 y(das)f(zu)g(b)s(ew)m(eisen)i(b)s(en)1380 4430 y(\177)1380 4426 y(otigen)e(wir)g(folgende)g(Aussage:)515 4623 y FS(Satz)k(3.4.6.)42 b FK(a\))35 b(Ist)64 b FR(E)1442 4587 y FQ(0)1529 4623 y FK(sep)-5 b(ar)g(ab)g(el,)34 b(so)g(ist)h(auch)64 b FR(E)70 b FK(sep)-5 b(ar)g(ab)g(el.)515 4744 y(b\))49 b(Insb)-5 b(esonder)g(e)48 b(ist)i(ein)g(r)-5 b(e\015exiver)49 b(R)-5 b(aum)50 b(genau)f(dann)g(sep)-5 b(ar)g(ab)g(el,)49 b(wenn)g(sein)515 4864 y(Dualr)-5 b(aum)34 b(es)h(ist.)p eop end %%Page: 75 79 TeXDict begin 75 78 bop 1030 266 a FJ(3.4.)55 b(Schw)-9 b(a)n(che)38 b(K)m(onver)n(genz)883 b FT(75)141 530 y FS(Bew)m(eis.)32 b FT(a\))23 b(Sei)54 b FO(f)p FR(x)932 494 y FQ(0)932 555 y FI(n)1007 530 y FT(:)28 b FR(n)g FO(2)g FN(N)p FO(g)53 b FT(dic)m(h)m(t)26 b(in)54 b FR(E)1866 494 y FQ(0)1918 530 y FT(.)24 b(W)2069 534 y(\177)2069 530 y(ahle)55 b FR(x)2352 545 y FI(n)2427 530 y FO(2)28 b FR(E)59 b FT(so)25 b(dass)54 b FO(k)p FR(x)3102 545 y FI(n)3149 530 y FO(k)28 b FT(=)f(1)141 651 y(und)66 b FO(j)p FR(x)452 615 y FQ(0)452 675 y FI(n)499 651 y FT(\()p FR(x)592 666 y FI(n)640 651 y FT(\))p FO(j)34 b(\025)861 611 y FM(1)p 861 628 36 4 v 861 685 a(2)906 651 y FO(k)p FR(x)1011 615 y FQ(0)1011 675 y FI(n)1059 651 y FO(k)29 b FT(.)36 b(Dann)g(ist)66 b FR(F)48 b FT(=)34 b FR(l)r(in)p FO(f)p FR(x)2086 666 y FI(n)2168 651 y FT(:)h FR(n)f FO(2)h FN(N)p FO(g)65 b FT(dic)m(h)m(t.)38 b(Sei)f(n)3100 655 y(\177)3100 651 y(amlic)m(h)141 771 y FR(')28 b FO(2)g FR(E)405 735 y FQ(0)489 771 y FT(so)j(dass)62 b FR(')912 787 y FQ(j)p FI(F)1017 771 y FT(=)28 b(0)h(.)i(Sei)62 b FR(")27 b(>)g FT(0)j(.)h(W)1856 775 y(\177)1856 771 y(ahle)61 b FR(n)28 b FO(2)g FN(N)61 b FT(so)31 b(dass)62 b FO(k)p FR(')19 b FO(\000)h FR(x)3047 735 y FQ(0)3047 796 y FI(n)3094 771 y FO(k)28 b(\024)g FR(")h FT(.)141 891 y(Dann)e(ist)58 b FO(k)p FR(')p FO(k)27 b(\024)h(k)p FR(')12 b FO(\000)g FR(x)1127 855 y FQ(0)1127 916 y FI(n)1175 891 y FO(k)g FT(+)g FO(k)p FR(x)1430 855 y FQ(0)1430 916 y FI(n)1478 891 y FO(k)27 b(\024)i FR(")12 b FT(+)g(2)p FO(j)p FR(x)1939 855 y FQ(0)1939 916 y FI(n)1986 891 y FT(\()p FR(x)2079 906 y FI(n)2126 891 y FT(\))p FO(j)27 b FT(=)h FR(")12 b FT(+)g(2)p FO(j)p FT(\()p FR(x)2639 855 y FQ(0)2639 916 y FI(n)2698 891 y FO(\000)g FR(')p FT(\)\()p FR(x)2982 906 y FI(n)3030 891 y FT(\))p FO(j)27 b(\024)h FT(3)p FR(")h FT(.)141 1012 y(Da)62 b FR(")28 b(>)g FT(0)63 b(b)s(eliebig)33 b(ist,)h(folgt)f(dass)63 b FR(')28 b FT(=)h(0)g(.)k(Damit)g(ist)62 b FR(F)76 b FT(dic)m(h)m(t)35 b(nac)m(h)f(Korollar)141 1132 y(3.2.6.)141 1253 y(b\))f(F)-8 b(olgt)31 b(direkt)j(aus)f(a\).)p 3308 1253 4 66 v 3312 1190 59 4 v 3312 1253 V 3370 1253 4 66 v 141 1493 a(Wir)k(hatten)f(gesehen,)i(dass)f(die)g(Einheitskugel)i (in)e(unendlic)m(h-dimensionalen)j(Ba-)141 1614 y(nac)m(hr)376 1618 y(\177)376 1614 y(aumen)d(nie)f(k)m(ompakt)h(ist.)f(Die)f (Bedeutung)i(der)f(sc)m(h)m(w)m(ac)m(hen)i(T)-8 b(op)s(ologie)36 b(liegt)141 1734 y(an)d(dem)g(folgenden)g(wic)m(h)m(tigen)i(Satz.)141 2038 y FS(Theorem)61 b(3.4.7.)53 b FK(Sei)82 b FR(E)89 b FK(ein)53 b(r)-5 b(e\015exiver)53 b(Banachr)-5 b(aum.)52 b(Dann)g(hat)i(je)-5 b(de)52 b(b)-5 b(e-)141 2159 y(schr)316 2163 y(\177)317 2159 y(ankte)34 b(F)-7 b(olge)34 b(in)63 b FR(E)71 b FK(eine)34 b(schwach)f(konver)-5 b(gente)34 b(T)-7 b(eilfolge.)141 2463 y FS(Bew)m(eis.)32 b FT(Sei)62 b FR(x)780 2478 y FI(n)856 2463 y FO(2)29 b FR(E)23 b(;)33 b FO(k)p FR(x)1211 2478 y FI(n)1258 2463 y FO(k)28 b(\024)h FR(c)98 b FT(\()p FR(n)28 b FO(2)h FN(N)p FT(\))g(.)k(Der)g(Raum)62 b FR(F)43 b FT(=)p 2717 2381 123 4 v 28 w FR(l)r(in)q FO(f)p FR(x)2945 2478 y FI(n)3020 2463 y FT(:)29 b FR(n)f FO(2)h FN(N)p FO(g)141 2583 y FT(ist)39 b(separab)s(el)g(und)g (re\015exiv)h(nac)m(h)f(Satz)g(3.3.5.)e(Damit)h(folgt)g(aus)h(Satz)f (3.4.6,)g(dass)141 2703 y(auc)m(h)74 b FR(F)489 2667 y FQ(0)585 2703 y FT(separab)s(el)45 b(ist.)g(Da)72 b FR(F)1476 2667 y FQ(00)1565 2703 y FT(=)47 b FR(F)87 b FT(folgt)43 b(n)m(un)i(die)g(Behauptung)f(aus)h(Satz)141 2824 y(3.4.4,)32 b(angew)m(andt)i(auf)61 b FR(F)1163 2788 y FQ(0)1216 2824 y FT(.)p 3308 2824 4 66 v 3312 2761 59 4 v 3312 2824 V 3370 2824 4 66 v 141 3007 a FS(Bemerkung)29 b(3.4.8.)34 b FT(Ist)53 b FR(E)58 b FT(separab)s(el)24 b(o)s(der)e(re\015exiv,)j(so)e(b)s(esitzt)h(jede)g(b)s(esc)m(hr)3191 3011 y(\177)3191 3007 y(ank-)141 3128 y(te)33 b(F)-8 b(olge)33 b(in)63 b FR(E)734 3092 y FQ(0)819 3128 y FT(eine)34 b(sc)m(h)m(w)m(ac)m(h*-k)m(on)m(v)m(ergen)m(te)k(T)-8 b(eilfolge.)34 b(Im)g(allgemeinen)g(ist)g(dies)141 3248 y(jedo)s(c)m(h)f(falsc)m(h.)h(Hier)f(ist)g(ein)g(Beispiel:)141 3369 y(Sei)71 b FR(')400 3384 y FI(n)488 3369 y FO(2)42 b FT(\()p FR(`)675 3332 y FQ(1)750 3369 y FT(\))788 3332 y FQ(0)881 3369 y FT(gegeb)s(en)f(durc)m(h)71 b FR(')1635 3384 y FI(n)1682 3369 y FT(\()p FR(x)p FT(\))42 b(=)g FR(x)2028 3384 y FI(n)2104 3369 y FT(.)f(Sei)71 b(\()p FR(')2469 3384 y FI(n)2512 3396 y Fp(k)2554 3369 y FT(\))2592 3384 y FI(k)r FQ(2)p FH(N)2799 3369 y FT(eine)42 b(b)s(eliebige)141 3489 y(T)-8 b(eilfolge)33 b(v)m(on)63 b(\()p FR(')847 3504 y FI(n)894 3489 y FT(\))932 3504 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1103 3489 y FT(.)32 b(De\014niere)889 3744 y FR(x)944 3759 y FI(n)1019 3744 y FT(=)1122 3603 y FG(\032)1239 3683 y FT(\()p FO(\000)p FT(1\))1441 3647 y FI(k)1567 3683 y FT(w)m(enn)84 b FR(n)28 b FT(=)f FR(n)2116 3698 y FI(k)1239 3803 y FT(0)279 b(w)m(enn)84 b FR(n)40 b(=)-61 b FO(2)28 b(f)p FR(n)2157 3818 y FI(k)2227 3803 y FT(:)g FR(k)j FO(2)d FN(N)p FO(g)141 4007 y FT(Dann)k(ist)63 b FR(x)28 b FT(=)f(\()p FR(x)850 4022 y FI(n)898 4007 y FT(\))936 4022 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1105 4007 y FO(2)h FR(`)1240 3970 y FQ(1)1377 4007 y FT(und)62 b FR(')1665 4022 y FI(n)1708 4034 y Fp(k)1750 4007 y FT(\()p FR(x)p FT(\))28 b(=)g(\()p FO(\000)p FT(1\))2215 3970 y FI(k)2287 4007 y FT(.)p 3307 4007 4 68 v 3311 3943 60 4 v 3311 4007 V 3370 4007 4 68 v 141 4170 a FD(Aufgab)s(e)34 b(3.4.9.)40 b FB(Sei)61 b FA(E)k FB(ein)32 b(Banachr)l(aum,)62 b FA(f)34 b FC(:)26 b([0)p FA(;)14 b FC(1])25 b Fz(!)h FA(E)65 b FB(schwach)33 b(Lipschitz-stetig,)g(d.h.)141 4269 y(f)166 4273 y(\177)166 4269 y(ur)d(al)t(le)60 b FA(')24 b Fz(2)f FA(E)684 4239 y Fv(0)766 4269 y FB(gibt)30 b(es)59 b FA(M)32 b Fz(\025)23 b FC(0)29 b 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b(unktion)62 b FR(f)39 b FT(:)27 b(\012)i FO(!)e FR(E)68 b FT(hei\031t)33 b FS(holomorph)p FT(,)g(falls)141 2743 y(\(3.24\))775 b FR(f)1225 2702 y FQ(0)1248 2743 y FT(\()p FR(z)t FT(\))28 b(=)33 b(lim)1505 2806 y FI(h)p FQ(!)p FM(0)1678 2676 y FR(f)11 b FT(\()p FR(z)26 b FT(+)c FR(h)p FT(\))g FO(\000)h FR(f)11 b FT(\()p FR(z)t FT(\))p 1678 2720 667 4 v 1983 2811 a FR(h)141 2952 y FT(f)174 2956 y(\177)171 2952 y(ur)42 b(alle)71 b FR(z)47 b FO(2)d FT(\012)71 b(existiert)43 b(\(w)m(ob)s(ei)72 b FR(h)f FT(k)m(omplexe)44 b(W)-8 b(erte)42 b(annimm)m(t\);)g(d.h.)h(w)m(enn)141 3073 y FR(f)82 b FT(k)m(omplex)44 b(di\013erenzierbar)f(ist.)g(Es)g(folgt)e (unmittelbar,)i(dass)g(jede)f(holomorphe)141 3193 y(F)-8 b(unktion)35 b(stetig)g(ist.)g(F)-8 b(erner)34 b(ist)h(sie)g FS(sc)m(h)m(w)m(ac)m(h)40 b(holomorph)p FT(,)c(d.h.)64 b FR(')23 b FO(\016)g FR(f)75 b FT(ist)35 b(ho-)141 3313 y(lomorph)e(f)559 3317 y(\177)556 3313 y(ur)f(alle)62 b FR(')28 b FO(2)g FR(E)1152 3277 y FQ(0)1237 3313 y FT(\(und)63 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FR(z)31 b FO(\000)26 b FR(z)2395 545 y FM(0)2435 530 y FO(j)37 b FR(<)h(r)s FO(g)67 b FT(die)39 b(o\013ene)g(Kreissc)m (heib)s(e)515 651 y(in)65 b FN(C)g FT(mit)36 b(Mittelpunkt)67 b FR(z)1605 666 y FM(0)1710 651 y FT(und)36 b(Radius)66 b FR(r)32 b FT(;)2459 625 y(\026)2436 651 y FR(B)5 b FT(\()p FR(z)2598 666 y FM(0)2637 651 y FR(;)17 b(r)s FT(\))65 b(ist)36 b(die)g(abgesc)m(hlossene)515 771 y(Kreissc)m(heib)s (e.)j(Das)d(In)m(tegral)h(ist)g(im)g(Sinne)h(eines)g(Riemannsc)m(hen)h (Kurv)m(enin)m(tegral)515 891 y(zu)33 b(v)m(erstehen;)i(d.h.)e(f)1334 895 y(\177)1331 891 y(ur)g(eine)g(stetige)h(F)-8 b(unktion)62 b FR(g)31 b FT(:)2567 866 y(\026)2543 891 y FR(B)6 b FT(\()p FR(z)2706 906 y FM(0)2745 891 y FR(;)17 b(r)s FT(\))27 b FO(!)h FR(E)67 b FT(setzen)35 b(wir)515 1234 y(\(3.26\))1396 1098 y FG(Z)1285 1386 y FQ(j)p FI(t)p FQ(\000)p FI(z)1418 1395 y FE(0)1453 1386 y FQ(j)p FM(=)p FI(r)1600 1234 y FR(g)t FT(\()p FR(t)p FT(\))d FR(dt)27 b FT(=)2044 1078 y FM(2)p FI(\031)2011 1098 y FG(Z)2021 1379 y FM(0)2127 1234 y FR(g)t FT(\()p FR(z)2261 1249 y FM(0)2322 1234 y FT(+)22 b FR(r)s(e)2512 1193 y FI(i\022)2575 1234 y FT(\))p FR(ir)s(e)2738 1193 y FI(i\022)2801 1234 y FR(d\022)36 b(:)515 1594 y FT(Da)30 b(f)702 1598 y(\177)699 1594 y(ur)60 b FR(')27 b FO(2)h FR(E)1114 1558 y FQ(0)1198 1594 y FT(die)j(F)-8 b(unktion)61 b FR(')18 b FO(\016)h FR(f)71 b FT(holomorph)31 b(ist,)g(gilt)g(nac)m(h)g(dem)h(sk)-5 b(alarw)m(er-)515 1715 y(tigen)33 b(Satz)515 1985 y(\(3.27\))596 b(\()p FR(')22 b FO(\016)g FR(f)11 b FT(\)\()p FR(z)t FT(\))28 b(=)1967 1918 y(1)p 1921 1962 141 4 v 1921 2054 a(2)p FR(\031)t(i)2176 1850 y FG(Z)2066 2138 y FQ(j)p FI(t)p FQ(\000)p FI(z)2199 2147 y FE(0)2233 2138 y FQ(j)p FM(=)p FI(r)2390 1918 y FR(')22 b FO(\016)g FR(f)11 b FT(\()p FR(t)p FT(\))p 2390 1962 328 4 v 2451 2054 a FR(t)22 b FO(\000)h FR(z)2761 1985 y(dt)32 b(:)515 2348 y FT(Somit)f(folgt)g(\(5.2\))g(aus)h(\(4.1\))e(und)i(der)g(T)-8 b(atsac)m(he,)33 b(dass)62 b FR(E)2768 2312 y FQ(0)2851 2348 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b(f)713 1126 y(\177)710 1122 y(ur)72 b FO(j)p FR(t)30 b FO(\000)f FR(z)1118 1137 y FM(0)1158 1122 y FO(j)45 b FT(=)h FR(r)32 b FT(.)43 b(Damit)g(k)-5 b(ann)43 b(man)g(in)h(\(3.28\))e(In)m(tegration)h(und) 141 1243 y(Summation)31 b(v)m(ertausc)m(hen)i(und)e(erh)1519 1247 y(\177)1519 1243 y(alt)g(\(3.29\).)f(Aussage)h(\(3.30\))f(ergibt)h (sic)m(h)h(daraus)141 1363 y(wie)i(im)e(sk)-5 b(alaren)34 b(F)-8 b(all.)p 3308 1363 4 66 v 3312 1301 59 4 v 3312 1363 V 3370 1363 4 66 v 141 1604 a(Den)26 b(Iden)m(tit)625 1608 y(\177)625 1604 y(atssatz)j(k)-5 b(ann)26 b(man)h(im)f(v)m(ektorw) m(ertigen)j(F)-8 b(all)26 b(allgemeiner)i(form)m(ulieren.)141 1803 y FS(Satz)k(3.6.3)g FT(\(Iden)m(tit)969 1807 y(\177)969 1803 y(atssatz\))p FS(.)39 b FK(Sei)59 b FR(F)73 b FK(ein)30 b(ab)-5 b(geschlossener)28 b(Unterr)-5 b(aum)31 b(von)59 b FR(E)35 b FK(.)141 1923 y(Sei)69 b FT(\012)i FK(o\013en)39 b(und)i(zusammenh)1419 1927 y(\177)1420 1923 y(angend)d(und)i(sei)70 b FR(f)48 b FT(:)39 b(\012)f FO(!)g FR(E)76 b FK(holomorph.)39 b(Wir)141 2043 y(nehmen)34 b(an,)g(dass)g(die)h(Menge)1226 2258 y FT(\012)1296 2273 y FI(F)1383 2258 y FT(=)28 b FO(f)p FR(z)k FO(2)c FT(\012)g(:)g FR(f)11 b FT(\()p FR(z)t FT(\))28 b FO(2)g FR(F)14 b FO(g)141 2473 y FK(einen)34 b(H)476 2477 y(\177)477 2473 y(aufungspunkt)h(in)64 b FT(\012)h FK(hat.)35 b(Dann)e(ist)65 b FR(f)11 b FT(\()p FR(z)t FT(\))28 b FO(2)g FR(F)78 b FK(f)2462 2477 y(\177)2462 2473 y(ur)35 b(al)5 b(le)63 b FR(z)33 b FO(2)28 b FT(\012)i FK(.)141 2792 y FS(Bew)m(eis.)i FT(Sei)70 b FR(q)44 b FT(:)d FR(E)47 b FO(!)40 b FR(E)6 b(=F)83 b FT(die)41 b(Quotien)m(ten)m(bildung.)h(Dann)e(ist)70 b FR(q)31 b FO(\016)c FR(f)81 b FT(holo-)141 2912 y(morph.)39 b(Sei)69 b FR(')37 b FO(2)i FT(\()p FR(E)6 b(=F)14 b FT(\))1162 2876 y FQ(0)1213 2912 y FT(.)39 b(Dann)f(ist)h(die)g(F)-8 b(unktion)69 b FR(')26 b FO(\016)g FR(q)k FO(\016)c FR(f)48 b FT(:)38 b(\012)g FO(!)g FN(C)68 b FT(holo-)141 3032 y(morph)41 b(und)g(v)m(ersc)m(h)m(windet)k(auf)70 b(\012)1523 3047 y 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FA(;)43 b(x)24 b Fz(7!)f FC(\()p FA(f)1781 1231 y Fw(n)1826 1219 y FC(\()p FA(x)p FC(\)\))1969 1231 y Fw(n)p Fv(2)p Fs(N)2161 1219 y FB(und)30 b(b)l(enutze)e(A)n(ufgab)l(e)i(3.6.8.)141 1319 y(b\))k(Beweise)i(mit)e(Hilfe)g(von)h(a\))f(und)g(A)n(ufgab)l(e)g (3.6.7)i(c\))e(eine)g(vektorwertige)i(V)-6 b(ersion)34 b(des)g(Satzes)141 1418 y(von)c(A)n(rzela-Asc)l(oli.)p eop end %%Page: 88 92 TeXDict begin 88 91 bop 515 266 a FT(88)188 b FJ(3.)55 b(Der)37 b(Sa)-7 b(tz)38 b(v)n(on)g(Hahn-Bana)n(ch)f(und)h(seine)f(K)m (onsequenzen)515 538 y FL(3.8)160 b(Riemann-Steltjes)52 b(In)l(tegral)h(und)82 b Fc(\()p FL(C)p Fc([)p FL(a)p Fm(;)24 b FL(b)p Fc(]\))3621 486 y FO(0)3680 538 y FL(.)515 770 y FT(Als)29 b(An)m(w)m(endung)h(des)f(Satzes)g(v)m(on)g(Hahn-Banac) m(h)g(geb)s(en)f(wir)h(hier)f(eine)i(analytisc)m(he)515 890 y(Besc)m(hreibung)39 b(des)f(Dualraumes)g(v)m(on)67 b FR(C)7 b FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])30 b(.)37 b(Sei)67 b([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])66 b(ein)38 b(k)m(ompaktes)h(In)m(ter-)515 1010 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b(v)m(on)f(b)s(esc)m(hr)2598 1890 y(\177)2598 1886 y(ankter)i(V)-8 b(ariation)43 b(auf)73 b([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])515 2006 y(mit)33 b(W)-8 b(erten)33 b(in)62 b FN(K)30 b FT(.)i(Sei)63 b FR(g)31 b FO(2)d FR(B)5 b(V)22 b FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])29 b(.)k(Wir)g(nennen)h (dann)515 2245 y(\(3.8\))706 b FR(V)21 b(ar)s FT(\()p FR(g)t FT(\))27 b(:=)h(inf)7 b FO(f)p FR(c)27 b FO(\025)h FT(0)g(:)93 b(\(6.1\))32 b(gilt)p FO(g)515 2483 y FT(die)h(V)-8 b(ariation)32 b(v)m(on)63 b FR(g)32 b FT(.)h(Es)g(gilt)515 2721 y(\(3.9\))702 b FR(V)22 b(ar)s FT(\()p FR(g)1680 2751 y Fo(j)p FE([)p Fp(a;c)p FE(])1822 2721 y FT(\))g(+)g FR(V)g(ar)s FT(\()p FR(g)2242 2751 y Fo(j)p FE([)p Fp(c;b)p FE(])2377 2721 y FT(\))28 b(=)g FR(V)21 b(ar)s FT(\()p FR(g)t FT(\))515 2960 y(f)548 2964 y(\177)545 2960 y(ur)32 b(alle)62 b FR(c)28 b FO(2)g FT(\()p FR(a;)17 b(b)p FT(\))30 b(.)i(Insb)s(esondere)j(ist)e(die)g(F)-8 b(unktion)62 b FR(V)2718 2975 y FI(g)2786 2960 y FT(:)28 b([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])28 b FO(!)f FT([0)p FR(;)17 b(V)22 b(ar)s FT(\()p FR(g)t FT(\)])28 b(,)515 3080 y FR(t)g FO(7!)f FR(V)21 b(ar)s FT(\()p FR(g)966 3109 y Fo(j)p FE([)p Fp(a;t)p FE(])1105 3080 y FT(\))61 b(monoton)33 b(w)m(ac)m(hsend)i(und) 515 3318 y(\(3.10\))812 b FR(V)22 b(ar)s FT(\()p FR(g)1839 3348 y Fo(j)p FE([)p Fp(s;t)p FE(])1972 3318 y FT(\))28 b(=)f FR(V)2198 3333 y FI(g)2238 3318 y FT(\()p FR(t)p FT(\))c FO(\000)f FR(V)2528 3333 y FI(g)2568 3318 y FT(\()p FR(s)p FT(\))515 3557 y(f)548 3561 y(\177)545 3557 y(ur)61 b FR(a)28 b FO(\024)g FR(s)g(<)g(t)g FO(\024)g FR(b)h FT(.)k(Wir)g(setzen)515 3795 y(\(3.11\))812 b FO(k)p FR(g)t FO(k)1728 3810 y FI(B)s(V)1872 3795 y FT(=)27 b FO(j)p FR(g)t FT(\()p FR(a)p FT(\))p FO(j)21 b FT(+)h FR(V)g(ar)s FT(\()p FR(g)t FT(\))31 b FR(:)515 4033 y FT(Da)h(f)704 4037 y(\177)701 4033 y(ur)61 b FR(t)28 b FO(2)g FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])33 b FR(;)50 b FO(j)p FR(g)t FT(\()p FR(t)p FT(\))21 b FO(\000)h FR(g)t FT(\()p FR(a)p FT(\))p FO(j)27 b(\024)h FR(V)22 b(ar)s FT(\()p FR(g)t FT(\))28 b(,)33 b(gilt)f(dann)515 4271 y(\(3.12\))1026 b FO(k)p FR(g)t FO(k)1942 4286 y FQ(1)2044 4271 y FO(\024)28 b(k)p FR(g)t FO(k)2300 4286 y FI(B)s(V)2449 4271 y FR(:)515 4510 y FT(Man)33 b(sieh)m(t)g(leic)m(h)m(t,)i(da\031)d(\(6.4\))g(eine)i (Norm)e(auf)62 b FR(B)5 b(V)21 b FT([)p FR(a;)c(b)p FT(])63 b(de\014niert.)515 4864 y FS(Satz)37 b(3.8.1.)42 b FK(Der)35 b(R)-5 b(aum)64 b FT(\()p FR(B)5 b(V)21 b FT([)p FR(a;)c(b)p FT(])p FR(;)g FO(k)35 b(k)2136 4879 y FI(B)s(V)2254 4864 y FT(\))64 b FK(ist)35 b(ein)f(Banachr)-5 b(aum.)p eop end %%Page: 89 93 TeXDict begin 89 92 bop 541 266 a FJ(3.8.)55 b(Riemann-Stel)-7 b(tjes)36 b(Integral)i(und)67 b FT(\()p FS(C)p FT([)p FS(a)p FR(;)17 b FS(b)p FT(]\))2802 230 y FQ(0)2855 266 y FJ(.)394 b FT(89)141 530 y(Sei)61 b(\()p FR(g)411 545 y FI(N)478 530 y FT(\))516 545 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)719 530 y FT(eine)32 b(Cauc)m(h)m(yfolge)h(in)61 b FR(B)5 b(V)22 b FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])29 b(.)j(Da)60 b FO(F)2308 494 y FI(b)2341 530 y FT(\([)p FR(a;)17 b(b)p 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y(ur)41 b(alle)70 b FR(n)41 b FO(\025)h FR(n)796 2139 y FM(0)865 2124 y FT(.)f(Damit)f(ist)70 b FR(g)45 b FO(2)c FR(B)5 b(V)22 b FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])70 b(und)h FR(V)21 b(ar)s FT(\()p FR(g)31 b FO(\000)d FR(g)2710 2139 y FI(n)2757 2124 y FT(\))41 b FO(\024)h FR(")69 b FT(f)3103 2128 y(\177)3100 2124 y(ur)41 b(alle)141 2244 y FR(n)30 b FO(\025)h FR(n)395 2259 y FM(0)464 2244 y FT(.)j(Wir)g(hab)s(en)g(gezeigt,)h(da\031)87 b(lim)1584 2304 y FI(n)p FQ(!1)1784 2244 y FR(V)22 b(ar)s FT(\()p FR(g)k FO(\000)e FR(g)2220 2259 y FI(n)2266 2244 y FT(\))30 b(=)g(0)f(.)34 b(Mit)g(\(6.6\))g(sc)m(hlie\031en)141 2397 y(wir,)f(da\031)86 b(lim)550 2457 y FI(n)p FQ(!1)750 2397 y FO(k)p FR(g)26 b FO(\000)c FR(g)1019 2412 y FI(n)1066 2397 y FO(k)1116 2412 y FI(B)s(V)1261 2397 y FT(=)27 b(0)i(.)p 3319 2397 61 71 v 141 2638 a(Als)36 b(n)369 2642 y(\177)369 2638 y(ac)m(hstes)h(de\014nieren)g(wir)f(das)g (Riemann-Stieltjes)g(In)m(tegral)g(bzgl.)g(einer)g(F)-8 b(unk-)141 2758 y(tion)67 b FR(g)40 b FO(2)d FR(B)5 b(V)22 b FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])30 b(.)37 b(Sei)68 b FR(f)47 b FO(2)37 b FR(C)7 b FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])30 b(.)38 b(Sei)68 b FR(\031)j FT(eine)39 b(Zerlegung)67 b FR(a)37 b FT(=)f FR(t)3003 2773 y FM(0)3079 2758 y FR(<)h(t)3227 2773 y FM(1)3303 2758 y FR(<)141 2879 y FO(\001)17 b(\001)g(\001)26 b FR(<)i(t)424 2894 y FI(n)498 2879 y FT(=)g FR(b)62 b FT(mit)33 b(Zwisc)m(henstellen)65 b FR(s)1651 2894 y FI(i)1707 2879 y FO(2)28 b FT([)p FR(t)1863 2894 y FI(i)p FQ(\000)p FM(1)1982 2879 y FR(;)17 b(t)2061 2894 y FI(i)2089 2879 y FT(])29 b(.)k(Dann)f(nenn)m(t)i(man)942 3072 y FG(X)1085 3166 y FT(\()p FR(f)5 b(;)17 b(g)t(;)g(\031)t FT(\))27 b(=)1593 3042 y FI(n)1542 3072 y FG(X)1557 3281 y FI(i)p FM(=1)1703 3166 y FR(f)11 b FT(\()p FR(s)1846 3181 y FI(i)1874 3166 y FT(\)\()p FR(g)t FT(\()p FR(t)2074 3181 y FI(i)2101 3166 y FT(\))22 b FO(\000)h FR(g)t FT(\()p FR(t)2385 3181 y FI(i)p FQ(\000)p FM(1)2503 3166 y FT(\)\))141 3466 y(eine)53 b FS(Riemann-Stieltjes)62 b(Summe)g(v)m(on)89 b FR(f)j FT(bzgl.)82 b FR(g)j FT(und)d FR(\031)33 b FT(.)53 b(Mit)82 b FO(j)p FR(\031)t FO(j)60 b FT(:)176 3586 y(sup)141 3666 y FI(i)p FM(=1)p FQ(\001\001\001)o FI(n)374 3586 y FO(j)p FR(t)437 3601 y FI(i)488 3586 y FO(\000)23 b FR(t)623 3601 y FI(i)p FQ(\000)p FM(1)742 3586 y FO(j)63 b FT(b)s(ezeic)m(hnen)36 b(wir)f(die)f FS(maximale)41 b(Masc)m(hen)m(w)m(eite)35 b FT(o)s(der)f FS(Norm)141 3759 y FT(v)m(on)64 b FR(\031)i FT(und)34 b(damit)g(existiert)h(der)f (Limes)g(in)g(\(6.7\).)f(Die)2344 3763 y(\177)2341 3759 y(ubrigen)h(Aussagen)h(folgen)141 3879 y(unmittelbar)f(aus)f(der)g (De\014nition.)p 3319 3879 V 141 4120 a(Man)g(sieh)m(t)h(leic)m(h)m(t,) g(da\031)e(f)1101 4124 y(\177)1098 4120 y(ur)62 b FR(c)28 b FO(2)g FT(\()p FR(a;)17 b(b)p FT(\))141 4400 y(\(3.14\))1169 4264 y FG(Z)1268 4291 y FI(b)1224 4490 y(a)1319 4400 y FR(f)11 b(dg)31 b FT(=)1610 4264 y FG(Z)1710 4291 y FI(c)1666 4490 y(a)1761 4400 y FR(f)11 b(dg)25 b FT(+)2041 4264 y FG(Z)2141 4291 y FI(b)2096 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b(Cauc)m(h)m(ysystem)i(ist.)515 3556 y FS(Lemma)k(3.8.3.)i FK(Sei)64 b FR(g)32 b FO(2)d FR(B)5 b(V)22 b FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])29 b FK(.)36 b(Dann)e(existiert)h(in)h(je)-5 b(dem)63 b FR(t)29 b FO(2)g FT(\()p FR(a;)17 b(b)p FT(])p FR(g)t FT(\()p FR(t)p FT(\))29 b(:=)515 3676 y(lim)536 3739 y FI(s)p FQ(")p FI(t)667 3676 y FR(g)t FT(\()p FR(s)p FT(\))56 b FK(und)28 b(in)g(je)-5 b(dem)56 b FR(t)28 b FO(2)g FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])28 b FR(;)45 b(g)t FT(\()p FR(t)p FT(+\))27 b(=)h(lim)2332 3739 y FI(s)p FQ(#)p FI(t)2463 3676 y FR(g)t FT(\()p FR(s)p FT(\))g FK(.)g(Die)f(Menge)h(der)f(Unstetig-)515 3845 y(keitspunkte)37 b(ist)h(abz)1297 3849 y(\177)1298 3845 y(ahlb)-5 b(ar.)36 b(F)-7 b(erner)37 b(gibt)g(es)h(genau)f(eine)g (F)-7 b(unktion)66 b FR(h)33 b FO(2)g FR(B)5 b(V)3515 3860 y FI(n)3562 3845 y FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])515 3965 y FK(der)-5 b(art,)35 b(da\031)1533 4013 y FG(Z)1632 4039 y FI(b)1588 4238 y(a)1683 4148 y FR(f)11 b FT(\()p FR(t)p FT(\))p FR(dg)t FT(\()p FR(t)p 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1184 y(ahlbar,)141 1304 y(sagen)33 b(wir)62 b FR(U)39 b FT(=)27 b FO(f)p FR(t)897 1319 y FI(n)972 1304 y FT(:)h FR(n)g FO(2)g FN(N)p FO(g)h FT(.)141 1554 y(Da)44 b(der)h(Limes)h(in)f(\(6.7\))f(f)1189 1558 y(\177)1186 1554 y(ur)h(jede)g(F)-8 b(olge)44 b(v)m(on)i(P)m(artitionen)f(mit)g (Zwisc)m(henstellen)141 1675 y(deren)38 b(Masc)m(hen)m(w)m(eiten)i (gegen)67 b(0)e(strebt)38 b(gleic)m(h)g(ist,)f(k)-5 b(ann)37 b(man)66 b FR(g)j FT(in)37 b(abz)3108 1679 y(\177)3108 1675 y(ahlbar)141 1795 y(vielen)31 b(Stellen)f(im)f(Inneren)h(v)m(on)59 b(\()p FR(a;)17 b(b)p FT(\))1701 1799 y(\177)1701 1795 y(andern,)30 b(ohne)f(da\031)g(sic)m(h)h(das)f(In)m(tegral)g(\(6.7\)) 141 1919 y(\177)141 1915 y(andert.)p 3319 1915 61 71 v 141 2165 a(Nun)k(erhalten)h(wir)f(folgende)g(Eindeutigk)m (eitsaussage:)141 2415 y FS(Lemma)38 b(3.8.4.)j FK(Sei)62 b FR(g)31 b FO(2)d FR(B)5 b(V)22 b FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])30 b FK(,)j(so)h(da\031)1983 2334 y FG(R)2049 2361 y FI(b)2030 2449 y(a)2100 2415 y FR(f)11 b(dg)30 b FT(=)e(0)63 b FK(f)2533 2419 y(\177)2533 2415 y(ur)33 b(al)5 b(le)63 b FR(f)38 b FO(2)28 b FR(C)7 b FT([)p FR(a;)17 b(b)p FT(])30 b FK(.)141 2535 y(Dann)k(ist)64 b FR(g)t FT(\()p FR(a)p FT(\))27 b(=)h FR(g)t FT(\()p FR(b)p FT(\))f(=)h FR(g)t FT(\()p FR(t)p FO(\000)p FT(\))f(=)h FR(g)t FT(\()p FR(t)p FT(+\))63 b FK(f)1884 2539 y(\177)1884 2535 y(ur)35 b(al)5 b(le)64 b FR(t)28 b FO(2)g FT(\()p FR(a;)17 b(b)p FT(\))29 b FK(.)141 2905 y FS(Bew)m(eis)19 b(.)29 b FT(Es)h(ist)58 b FR(g)t FT(\()p FR(b)p FT(\))15 b FO(\000)g FR(g)t FT(\()p FR(a)p FT(\))27 b(=)1434 2825 y FG(R)1500 2851 y FI(b)1481 2939 y(a)1551 2905 y FT(1)p FR(dg)t FT(\()p FR(t)p FT(\))g(=)g(0)i(.)g (Sei)59 b FR(t)28 b FO(2)g FT(\()p FR(a;)17 b(b)p FT(\))30 b(.)f(W)2815 2909 y(\177)2815 2905 y(ahle)58 b FR(a)28 b(<)g(r)i(<)141 3025 y(s)e(<)f(t)j FT(.)h(Sei)61 b FR(f)38 b FT(=)28 b(1)60 b(auf)g([)p FR(s;)17 b(b)p FT(])p FR(;)g(f)38 b FT(=)28 b(0)60 b(auf)g([)p FR(a;)17 b(r)s FT(])60 b(und)32 b(a\016ne)f(auf)60 b([)p FR(r)m(;)17 b(s)p FT(])30 b(.)h(Dann)f(ist)141 3146 y(0)e(=)f FR(S)387 3109 y FI(b)381 3170 y(a)423 3146 y FR(f)11 b(dg)30 b FT(=)e FR(g)t FT(\()p FR(b)p FT(\))16 b FO(\000)g FR(g)t FT(\()p FR(s)p FT(\))g(+)1272 3065 y FG(R)1338 3092 y FI(s)1318 3180 y(r)1391 3146 y FR(f)11 b(dg)32 b FT(.)e(F)-8 b(olglic)m(h)30 b(ist)59 b FO(j)p FR(g)t FT(\()p FR(b)p FT(\))16 b FO(\000)g FR(g)t FT(\()p FR(s)p FT(\))p FO(j)26 b(\024)j(k)p FR(f)11 b FO(k)2955 3161 y FQ(1)3029 3146 y FT(\()p FR(V)3124 3161 y FI(g)3164 3146 y FT(\()p FR(s)p FT(\))16 b FO(\000)141 3266 y FR(V)198 3281 y FI(g)238 3266 y FT(\()p FR(r)s FT(\)\))29 b(.)g(Mit)59 b FR(s)28 b FO(")f FR(t)59 b FT(erhalten)30 b(wir)60 b FO(j)p FR(g)t FT(\()p FR(b)p FT(\))16 b FO(\000)g FR(g)t FT(\()p FR(t)p FO(\000)p FT(\))p FO(j)26 b(\024)i(k)p FR(f)11 b FO(k)2375 3281 y FQ(1)2449 3266 y FT(\()p FR(V)2544 3281 y FI(g)2584 3266 y FT(\()p FR(t)p FO(\000)p FT(\))16 b FO(\000)g FR(V)2938 3281 y FI(g)2978 3266 y FT(\()p FR(r)s FT(\)\))29 b(.)h(Mit)141 3386 y FR(r)g 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FR(\025)p FT(\()p FR(\025)22 b FO(\000)g FR(T)14 b FT(\))897 2309 y FQ(\000)p FM(1)1019 2345 y FT(=)27 b(\()p FR(I)j FO(\000)1343 2306 y FI(T)p 1343 2322 51 4 v 1348 2379 a(\025)1404 2345 y FT(\))1442 2309 y FQ(\000)p FM(1)1565 2345 y FT(.)j(Wir)g(hab)s(en)g (gezeigt,)g(dass)63 b FR(r)s FT(\()p FR(T)14 b FT(\))27 b FO(\024)38 b FT(inf)3033 2407 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)3187 2345 y FO(k)p FR(T)3308 2309 y FI(n)3355 2345 y FO(k)3405 2309 y FM(1)p FI(=n)3551 2345 y FT(.)515 2563 y(c\))46 b(Sei)75 b FR(r)s FT(\()p FR(T)14 b FT(\))49 b FR(<)h(\045)30 b FT(.)45 b(Da)75 b FR(R)q FT(\(1)p FR(=\025;)17 b(T)d FT(\))48 b(=)2187 2468 y FQ(1)2170 2488 y FG(P)2156 2648 y FI(n)p FM(=0)2306 2563 y FR(\025)2363 2527 y FI(n)p FM(+1)2500 2563 y FR(T)2571 2527 y FI(n)2692 2563 y FT(f)2725 2567 y(\177)2722 2563 y(ur)75 b FO(j)p FR(\025)p FO(j)49 b FR(<)h FO(k)p FR(T)14 b FO(k)3348 2527 y FQ(\000)p FM(1)3517 2563 y FT(\(nac)m(h)515 2799 y(\(4.3\)\),)28 b(folgt)g(aus)h(Satz)g(3.6.2,)f(dass)i(die)f(Reihe)2360 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4 66 v 3686 829 59 4 v 3686 891 V 3744 891 4 66 v 515 1132 a(Zusammenfassend)35 b(k)1367 1136 y(\177)1367 1132 y(onnen)e(wir)g(das)g(Sp)s(ektrum)h (folgenderma\031en)g(sc)m(hreib)s(en:)515 1337 y FS(Satz)j(4.1.9.)42 b FK(Es)35 b(ist)1607 1459 y FR(\033)t FT(\()p FR(T)14 b FT(\))27 b(=)h FR(\033)1999 1474 y FI(ap)2076 1459 y FT(\()p FR(T)14 b FT(\))22 b FO([)h FR(\033)2389 1474 y FI(p)2429 1459 y FT(\()p FR(T)2538 1417 y FQ(0)2561 1459 y FT(\))34 b FR(:)515 1663 y FT(Dab)s(ei)f(sollte)i(man)f(jedo)s (c)m(h)h(b)s(eac)m(h)m(ten,)h(dass)64 b FR(\033)2318 1678 y FI(ap)2396 1663 y FT(\()p FR(T)14 b FT(\))63 b(und)h FR(\033)2887 1678 y FI(p)2927 1663 y FT(\()p FR(T)3036 1627 y FQ(0)3059 1663 y FT(\))f(nic)m(h)m(t)35 b(disjunkt)515 1784 y(sein)e(m)794 1788 y(\177)791 1784 y(ussen.)515 1904 y(Sc)m(hlie\031lic)m(h)46 b(zeigen)f(wir,)f(dass)g(der)g(top)s (ologisc)m(he)h(Rand)73 b FR(@)5 b(\033)t FT(\()p FR(T)14 b FT(\))73 b(des)45 b(Sp)s(ektrums)515 2025 y(immer)32 b(zum)h(appro)m(ximativ)m(en)h(Punktsp)s(ektrum)g(geh)2564 2029 y(\177)2564 2025 y(ort.)e(Dazu)g(b)s(en)m(utzen)h(wir)g(eine)515 2145 y(unmittelbare)h(F)-8 b(olgerung)32 b(aus)h(Satz)g(4.1.1.)515 2470 y FS(Satz)k(4.1.10.)42 b FK(Es)35 b(gilt)g(f)1459 2474 y(\177)1459 2470 y(ur)g(al)5 b(le)64 b FR(\025)27 b FO(2)h FR(\045)p FT(\()p FR(T)14 b FT(\))1552 2691 y FR(dist)p FT(\()p FR(\025;)j(\033)t FT(\()p FR(T)d FT(\)\))27 b FO(\025)h(k)p FR(R)q FT(\()p FR(\025;)17 b(T)d FT(\))p FO(k)34 b FR(:)515 2912 y FK(Insb)-5 b(esonder)g(e)23 b(gilt:)h(Ist)54 b FR(\025)1484 2927 y FI(n)1559 2912 y FO(2)28 b FR(\045)p FT(\()p FR(T)14 b FT(\))54 b FK(mit)78 b FT(lim)2100 2972 y FI(n)p FQ(!1)2301 2912 y FR(\025)2358 2927 y FI(n)2432 2912 y FT(=)28 b FR(\025)2593 2927 y FM(0)2661 2912 y FK(,)d(so)g(dass)53 b FT(sup)3069 2994 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)3228 2912 y FO(k)p FR(R)q FT(\()p FR(\025)3448 2927 y FI(n)3494 2912 y FR(;)17 b(T)d FT(\))p FO(k)27 b FR(<)515 3081 y FO(1)i FK(,)34 b(so)h(ist)1895 3202 y FR(\025)1952 3217 y FM(0)2019 3202 y FO(2)28 b FR(\045)p FT(\()p FR(T)14 b FT(\))35 b FR(:)515 3407 y FT(Die)26 b(in)h(Satz)f(4.1.10)g(form)m(ulierte)h(Eigensc)m(haft)h (ist)f(sp)s(eziell)h(f)2784 3411 y(\177)2781 3407 y(ur)e(Resolv)m(en)m (ten.)j(Sie)e(gilt)515 3527 y(nic)m(h)m(t)j(allgemein)g(f)1218 3531 y(\177)1215 3527 y(ur)f(holomorphe)g(F)-8 b(unktion.)29 b(Zw)m(ar)g(hat)g(eine)h(in)f(einer)h(punktierten)515 3648 y(Kreissc)m(heib)s(e)55 b FR(B)5 b FT(\()p FR(z)1256 3663 y FM(0)1296 3648 y FR(;)17 b(r)s FT(\))s FO(n)s(f)p FR(z)1576 3663 y FM(0)1614 3648 y FO(g)52 b FT(de\014nierte)25 b(holomorphe)e(F)-8 b(unktion)24 b(eine)g(holomorphe)515 3768 y(F)-8 b(ortsetzung)44 b(auf)f(die)h(gesam)m(te)g(Kreissc)m(heib)s (e,)j(w)m(enn)d(sie)h(b)s(esc)m(hr)3068 3772 y(\177)3068 3768 y(ankt)g(ist;)f(jedo)s(c)m(h)515 3888 y(reic)m(h)m(t)34 b(nic)m(h)m(t)h(aus,)f(dass)g(sie)g(auf)f(einer)h(gegen)63 b FR(z)2339 3903 y FM(0)2441 3888 y FT(k)m(on)m(v)m(ergen)m(ten)36 b(F)-8 b(olge)33 b(b)s(esc)m(hr)3559 3892 y(\177)3559 3888 y(ankt)515 4009 y(ist.)g(Das)f(zeigt)h(das)g(folgende)g(Beispiel.) 515 4214 y FS(Beispiel)j(4.1.11.)41 b FK(Die)33 b(F)-7 b(unktion)62 b FR(f)11 b FT(\()p FR(z)t FT(\))28 b(=)g FR(e)2271 4177 y FM(1)p FI(=z)2444 4214 y FK(hat)34 b(eine)e(nicht)i (hebb)-5 b(ar)g(e)32 b(Singula-)515 4334 y(rit)617 4338 y(\177)618 4334 y(at)j(in)64 b FT(0)29 b FK(,)35 b(obwohl)63 b FO(j)p FR(f)11 b FT(\()p FR(i=n)p FT(\))p FO(j)27 b FT(=)g(1)100 b(\()p FR(n)28 b FO(2)g FN(N)p FT(\))h FK(.)515 4659 y FT(Nun)k(k)780 4663 y(\177)780 4659 y(onnen)g(wir)g(den)h(Satz) 1639 4663 y(\177)1637 4659 y(ub)s(er)e(den)i(Rand)e(des)i(Sp)s(ektrums) g(b)s(ew)m(eisen.)515 4864 y FS(Satz)j(4.1.12.)42 b FK(Es)35 b(gilt)64 b FR(@)5 b(\033)t FT(\()p FR(T)14 b FT(\))28 b FO(\032)h FR(\033)1909 4879 y FI(ap)1986 4864 y FT(\()p FR(T)14 b FT(\))29 b FK(.)p eop end %%Page: 99 103 TeXDict begin 99 102 bop 936 266 a FJ(4.1.)55 b(Spektr)n(um)37 b(und)i(Resol)-9 b(vente)788 b FT(99)141 530 y FS(Bew)m(eis.)32 b FT(Sei)76 b FR(\025)51 b FO(2)h FR(@)5 b(\033)t FT(\()p FR(T)14 b FT(\))30 b(.)47 b(Nac)m(h)g(Satz)g(4.1.10)e(gibt)i(es)76 b FR(\025)2549 545 y FI(n)2648 530 y FO(2)52 b FR(\045)p FT(\()p FR(T)14 b FT(\))29 b(,)46 b(so)h(dass)165 651 y(lim)141 710 y FI(n)p FQ(!1)342 651 y FR(\025)399 666 y FI(n)476 651 y FT(=)29 b FR(\025)64 b FT(und)88 b(lim)927 710 y FI(n)p FQ(!1)1128 651 y FO(k)p FR(R)q FT(\()p FR(\025)1348 666 y FI(n)1395 651 y FR(;)17 b(T)d FT(\))p FO(k)29 b FT(=)h FO(1)f FT(.)k(Nac)m(h)i(dem)g(Prinzip)g(der)f(gleic)m(hm)3220 655 y(\177)3220 651 y(a\031i-)141 803 y(gen)i(Besc)m(hr)605 807 y(\177)605 803 y(anktheit)j(gibt)d(es)66 b FR(x)34 b FO(2)f FR(E)j FT(,)g(so)g(dass)90 b(lim)2076 863 y FI(n)p FQ(!1)2276 803 y FO(k)p FR(R)q FT(\()p FR(\025)2496 818 y FI(n)2543 803 y FR(;)17 b(T)d FT(\))p FR(x)p FO(k)33 b FT(=)g FO(1)c FT(,)36 b(w)m(ob)s(ei)141 956 y(wir)62 b(\()p FR(\025)433 971 y FI(n)480 956 y FT(\))518 971 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)722 956 y FT(gegeb)s(enenfalls)34 b(durc)m(h)g(eine)f(T)-8 b(eilfolge)33 b(ersetzen.)141 1077 y(Sei)68 b FR(y)381 1092 y FI(n)464 1077 y FT(=)36 b FR(R)q FT(\()p FR(\025)746 1092 y FI(n)793 1077 y FR(;)17 b(T)d FT(\))p FR(x=)p FO(k)p FR(R)q FT(\()p FR(\025)1270 1092 y FI(n)1316 1077 y FR(;)j(T)d FT(\))p FR(x)p FO(k)29 b FT(.)38 b(Dann)g(ist)67 b FO(k)p FR(y)2206 1092 y FI(n)2252 1077 y FO(k)37 b FT(=)f(1)67 b(ab)s(er)g FR(\025y)2926 1092 y FI(n)2998 1077 y FO(\000)26 b FR(T)14 b(y)3220 1092 y FI(n)3303 1077 y FT(=)141 1197 y(\()p FR(\025)22 b FO(\000)h FR(\025)415 1212 y FI(n)462 1197 y FT(\))p FR(y)548 1212 y FI(n)616 1197 y FT(+)f FR(x=)p FO(k)p FR(R)q FT(\()p FR(\025)1038 1212 y FI(n)1085 1197 y FR(;)17 b(T)d FT(\))p FR(x)p FO(k)62 b FT(k)m(on)m(v)m(ergiert)34 b(gegen)62 b(0)91 b(\()p FR(n)28 b FO(!)f(1)p FT(\))i(.)p 3308 1197 4 66 v 3312 1134 59 4 v 3312 1197 V 3370 1197 4 66 v 141 1438 a(Sc)m(hlie\031lic)m(h)35 b(gehen)e(wir)g(no)s(c)m (hmals)h(auf)e(die)i(Adjungierte)f(ein.)141 1598 y FS(Satz)38 b(4.1.13.)k FK(Sei)63 b FR(T)42 b FO(2)28 b(L)p FT(\()p FR(E)6 b FT(\))29 b FK(.)35 b(Dann)e(gilt:)207 1759 y(\(a\))77 b FR(T)h FK(ist)35 b(invertierb)-5 b(ar)34 b(genau)h(dann,)f(wenn)63 b FR(T)2125 1723 y FQ(0)2212 1759 y FK(invertierb)-5 b(ar)35 b(ist;)212 1948 y(\(b\))77 b FR(\033)t FT(\()p FR(T)14 b FT(\))28 b(=)f FR(\033)t FT(\()p FR(T)919 1912 y FQ(0)942 1948 y FT(\))i FK(.)141 2109 y FS(Bew)m(eis.)j FT(a\))48 b(Ist)78 b FR(T)92 b FT(in)m(v)m(ertierbar,)50 b(so)f(ist)79 b(\()p FR(T)2010 2072 y FQ(\000)p FM(1)2103 2109 y FT(\))2141 2072 y FQ(0)2198 2109 y FO(\016)33 b FR(T)2352 2072 y FQ(0)2430 2109 y FT(=)55 b(\()p FR(T)46 b FO(\016)33 b FR(T)2856 2072 y FQ(\000)p FM(1)2950 2109 y FT(\))2988 2072 y FQ(0)3066 2109 y FT(=)55 b FR(I)63 b FT(=)141 2229 y(\()p FR(T)250 2193 y FQ(\000)p FM(1)374 2229 y FO(\016)30 b FR(T)14 b FT(\))563 2193 y FQ(0)633 2229 y FT(=)47 b FR(T)827 2193 y FQ(0)880 2229 y FO(\016)30 b FT(\()p FR(T)1069 2193 y FQ(\000)p FM(1)1163 2229 y FT(\))1201 2193 y FQ(0)1253 2229 y FT(.)44 b(Somit)h(ist)73 b(\()p FR(T)1903 2193 y FQ(\000)p FM(1)1997 2229 y FT(\))2035 2193 y FQ(0)2106 2229 y FT(=)47 b(\()p FR(T)2338 2193 y FQ(0)2361 2229 y FT(\))2399 2193 y FQ(\000)p FM(1)2522 2229 y FT(.)d(Sei)h(umgek)m(ehrt)75 b FR(T)3356 2193 y FQ(0)141 2349 y FT(in)m(v)m(ertierbar.)46 b(Dann)e(ist)h(nac)m(h)g (dem)g(so)s(eb)s(en)g(Bewiesenen)77 b FR(T)2561 2313 y FQ(00)2676 2349 y FT(in)m(v)m(ertierbar.)47 b(So-)141 2470 y(mit)40 b(ist)70 b FO(k)p FR(T)14 b(x)p FO(k)40 b FT(=)g FO(k)p FR(T)1003 2434 y FQ(00)1045 2470 y FR(j)6 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(k)41 b(\025)g FR(\013)g FT(=)f FO(k)p FR(j)6 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(k)40 b FT(=)g FR(\013)q FO(k)p FR(x)p FO(k)69 b FT(f)2403 2474 y(\177)2400 2470 y(ur)40 b(alle)69 b FR(x)41 b FO(2)g FR(E)75 b FT(\(w)m(ob)s(ei) 141 2590 y FR(\013)33 b FT(=)f FO(k)p FT(\()p FR(T)503 2554 y FQ(00)545 2590 y FT(\))583 2554 y FQ(\000)p FM(1)678 2590 y FO(k)728 2554 y FQ(\000)p FM(1)886 2590 y FT(und)65 b FR(j)39 b FT(:)32 b FR(E)39 b FO(!)32 b FR(E)1572 2554 y FQ(00)1679 2590 y FT(k)-5 b(anonisc)m(h)37 b(ist\).)e(Damit)g(ist)h (Bild)65 b FR(T)78 b FT(abge-)141 2711 y(sc)m(hlossen.)41 b(Aus)e(Lemma)g(4.1.8)f(folgt)f(sc)m(hlie\031lic)m(h,)k(dass)e(Bild)68 b FR(T)51 b FT(=)37 b FR(E)e FT(.)k(Damit)e(ist)141 2831 y FR(T)76 b FT(bijektiv,)34 b(und)f(somit)g(in)m(v)m(ertierbar.)p 3308 2831 V 3312 2768 59 4 v 3312 2831 V 3370 2831 4 66 v 141 3091 a FD(Aufgab)s(e)f(4.1.14.)39 b FB(Benutze)29 b(\(4.5\))i(um)e(zu)h(zeigen,)g(dass)260 3226 y(a\))78 b FA(\045)p FC(\()p FA(T)12 b FC(\))59 b FB(o\013en)30 b(ist;)264 3361 y(b\))78 b FA(R)24 b FC(=)f FA(R)q FC(\()p Fz(\001)p FA(;)14 b(T)e FC(\))58 b FB(holomorph)32 b(ist)e(und)59 b FA(R)1678 3331 y Fv(0)1701 3361 y FC(\()p FA(\025)p FC(\))24 b(=)e Fz(\000)p FA(R)q FC(\()p FA(\025;)14 b(T)e FC(\))2263 3331 y Fx(2)2329 3361 y FB(;)264 3497 y(c\))49 b(und)29 b(dass)i(al)t(lgemeiner)g(\(4.2\))g(gilt.)141 3757 y FD(Aufgab)s(e)h(4.1.15.)39 b FB(Sei)59 b FA(T)34 b 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FB(.)141 4300 y(Betr)l(achte)i(den)f(Diagonalop)l(er)l (ator)61 b FA(T)34 b Fz(2)24 b(L)p FC(\()p FA(`)1635 4270 y Fw(p)1673 4300 y FC(\))59 b FB(ge)l(geb)l(en)30 b(dur)l(ch)1433 4447 y FA(T)12 b(x)23 b FC(=)f(\()p FA(\025)1731 4459 y Fw(n)1777 4447 y FA(x)1824 4459 y Fw(n)1870 4447 y FC(\))1902 4459 y Fw(n)p Fv(2)p Fs(N)2064 4447 y FA(:)260 4594 y FB(a\))49 b FD(Zeige:)58 b FA(\033)s FC(\()p FA(T)12 b FC(\))23 b(=)f Fz(f)p FA(\025)1066 4606 y Fw(n)1135 4594 y FC(:)h FA(n)g Fz(2)g Fy(N)p Fz(g)1434 4564 y Fv(\000)1519 4594 y FB(.)264 4729 y(b\))49 b FD(Zeige:)58 b FA(\033)738 4741 y Fw(p)776 4729 y FC(\()p FA(T)12 b FC(\))23 b(=)g Fz(f)p FA(\025)1102 4741 y Fw(n)1170 4729 y FC(:)g FA(n)g Fz(2)g Fy(N)p Fz(g)29 b FB(.)264 4864 y(c\))49 b(Sei)59 b FA(K)29 b Fz(\032)22 b Fy(K)59 b FB(eine)30 b(komp)l(akte)h(T)-6 b(eilmenge.)385 4964 y FD(Zeige:)28 b FB(Es)i(gibt)g(einen)g(Op)l(er)l (ator)60 b FA(T)34 b Fz(2)23 b(L)p FC(\()p FA(`)1828 4934 y Fw(p)1867 4964 y FC(\))29 b FB(,)h(so)g(dass)60 b FA(\033)s FC(\()p FA(T)12 b FC(\))23 b(=)g FA(K)35 b FB(.)p eop end %%Page: 100 104 TeXDict begin 100 103 bop 515 266 a FT(100)1070 b FJ(4.)55 b(Spektral)-7 b(theorie)515 530 y FL(4.2)160 b(Kompakte)54 b(Op)t(eratoren)515 757 y FT(Sei)69 b FR(E)74 b FT(ein)39 b(Banac)m(hraum.)h(Ist)69 b FR(E)74 b FT(unendlic)m(h-dimensional,)43 b(ist)c(die)h(Einheitsku-)515 877 y(gel)h(v)m(on)71 b FR(E)77 b FT(nic)m(h)m(t)42 b(k)m(ompakt.)g(Daher)f(sind)h(Op)s (eratoren)f(v)m(on)h(b)s(esonderem)h(In)m(ter-)515 998 y(esse,)g(die)f(diese)h(Situation)e(v)m(erb)s(essern.)j(Sei)72 b FR(F)84 b FT(ein)42 b(w)m(eiterer)h(Banac)m(hraum.)f(Mit)515 1118 y FR(B)589 1133 y FI(E)676 1118 y FT(=)28 b FO(f)p FR(x)g FO(2)g FR(E)33 b FT(:)28 b FO(k)p FR(x)p FO(k)g(\024)g FT(1)p FO(g)61 b FT(b)s(ezeic)m(hnen)36 b(wir)d(die)g(Einheitskugel)i (v)m(on)62 b FR(E)36 b FT(.)515 1461 y FS(De\014nition)25 b(4.2.1.)34 b FK(Ein)25 b(Op)-5 b(er)g(ator)54 b FR(T)41 b FO(2)28 b(L)p FT(\()p FR(E)6 b(;)17 b(F)d FT(\))53 b 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b(lich-)141 2483 y(dimensionaler)33 b(und)i(Bild)63 b FR(T)78 b FK(ist)35 b(ab)-5 b(geschlossener)33 b(T)-7 b(eilr)i(aum)33 b(von)64 b FR(E)35 b FK(.)141 2816 y FS(Bew)m(eis.)d FT(a\))j(Sei)65 b FR(F)46 b FT(=)33 b(k)m(er)18 b FR(T)43 b FT(.)35 b(Dann)g(ist)66 b FR(F)78 b FT(ein)36 b(abgesc)m(hlossener)j(T)-8 b(eilraum)36 b(v)m(on)141 2937 y FR(E)67 b FT(und)62 b FR(T)14 b(x)28 b FT(=)f FR(x)62 b FT(auf)f FR(F)43 b FT(.)32 b(Damit)f(ist)h(die)h (Iden)m(tit)2116 2941 y(\177)2116 2937 y(at)f(auf)61 b FR(F)75 b FT(k)m(ompakt.)33 b(Aus)g(Satz)141 3057 y(2.2.3)f(folgt,)g (dass)63 b(dim)17 b FR(F)41 b(<)28 b FO(1)h FT(.)141 3178 y(b\))f(Da)56 b(k)m(er)18 b FR(T)70 b FT(endlic)m(h-dimensional)30 b(ist,)e(gibt)g(es)g(einen)h(abgesc)m(hlossenen)i(T)-8 b(eilraum)141 3298 y FR(G)62 b FT(v)m(on)g FR(E)35 b FT(,)e(so)f(dass)63 b(k)m(er)18 b FR(T)35 b FO(\010)22 b FR(G)28 b FT(=)g FR(E)35 b FT(.)d(Die)h(Einsc)m(hr)2229 3302 y(\177)2229 3298 y(ankung)64 b FR(T)2661 3313 y FM(0)2762 3298 y FT(v)m(on)e FR(T)76 b FT(auf)61 b FR(G)141 3418 y FT(ist)27 b(injektiv)h(und)g(Bild)56 b FR(T)41 b FT(=)56 b(Bild)g FR(T)1563 3433 y FM(0)1632 3418 y FT(.)27 b(Sei)57 b FR(y)30 b FO(2)p 2039 3337 309 4 v 28 w FT(Bild)61 b FR(T)43 b FT(.)27 b(Dann)f(gibt)h(es)57 b FR(x)3077 3433 y FI(n)3152 3418 y FO(2)28 b FR(G)h FT(,)141 3539 y(so)k(dass)141 3764 y(\(4.8\))684 b FR(x)1081 3779 y FI(n)1151 3764 y FO(\000)22 b FR(K)7 b(x)1395 3779 y FI(n)1470 3764 y FT(=)28 b FR(T)14 b(x)1700 3779 y FI(n)1775 3764 y FO(!)27 b FR(y)101 b FT(\()p FR(n)28 b FO(!)f(1)p FT(\))g FR(:)141 3992 y FT(Wir)35 b(zeigen,)i(dass)65 b FR(x)963 4007 y FI(n)1075 3992 y FT(b)s(esc)m(hr)1345 3996 y(\177)1345 3992 y(ankt)37 b(ist.)f(Andernfalls)g(k)2314 3996 y(\177)2314 3992 y(onnen)g(wir)g(n)2829 3996 y(\177)2829 3992 y(amlic)m(h)g(\(nac)m(h)141 4112 y(evtl.)29 b(Extraktion)f(einer)h (T)-8 b(eilfolge\))28 b(annehmen,)i(dass)57 b FO(k)p FR(x)2332 4127 y FI(n)2380 4112 y FO(k)27 b(!)g(1)98 b FT(\()p FR(n)27 b FO(!)h(1)p FT(\))h(.)e(Sei)141 4232 y FR(u)197 4247 y FI(n)271 4232 y FT(=)h FR(x)430 4247 y FI(n)477 4232 y FR(=)p FO(k)p FR(x)631 4247 y FI(n)678 4232 y FO(k)h FT(.)k(Dann)f(gilt)141 4578 y(\(4.9\))837 b FR(u)1235 4593 y FI(n)1304 4578 y FO(\000)22 b FR(K)7 b(u)1549 4593 y FI(n)1624 4578 y FO(!)27 b FT(0)97 b(\()p FR(n)28 b FO(!)g(1)p FT(\))f FR(:)141 4806 y FT(Da)50 b FR(K)58 b FT(k)m(ompakt)23 b(ist,)g(\014nden)f(wir)h(eine)f(T)-8 b(eilfolge)52 b(\()p FR(u)2133 4821 y FI(n)2176 4833 y Fp(k)2217 4806 y FT(\))2255 4821 y FI(k)r FQ(2)p FH(N)2422 4806 y FT(,)22 b(so)g(dass)52 b FR(u)27 b FT(=)50 b(lim)2998 4869 y FI(k)r FQ(!1)3194 4806 y FR(K)7 b(u)3340 4821 y FI(n)3383 4833 y Fp(k)141 4962 y FT(existiert.)51 b(W)-8 b(egen)49 b(\(4.9\))g(ist)g(dann)79 b FR(u)54 b FT(=)78 b(lim)1826 5024 y FI(k)r FQ(!1)2022 4962 y FR(u)2078 4977 y FI(n)2121 4989 y Fp(k)2192 4962 y FT(.)49 b(Somit)g(ist)79 b FO(k)p FR(u)p FO(k)54 b FT(=)i(1)77 b(und)p eop end %%Page: 104 108 TeXDict begin 104 107 bop 515 266 a FT(104)1070 b FJ(4.)55 b(Spektral)-7 b(theorie)515 530 y FR(K)7 b(u)47 b FT(=)h FR(u)29 b FT(,)44 b(also)74 b FR(T)14 b(u)47 b FT(=)g(0)30 b(.)44 b(Da)73 b FR(u)47 b FO(2)h FR(G)74 b FT(ist)45 b(das)f(ein)h(Widerspruc)m(h)i(zur)e(Injek-)515 651 y(tivit)696 655 y(\177)696 651 y(at)d(v)m(on)72 b FR(T)1105 666 y FM(0)1174 651 y FT(.)42 b(Damit)g(ist)g(b)s(ewiesen,)j(dass)72 b(\()p FR(x)2491 666 y FI(n)2538 651 y FT(\))2576 666 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2789 651 y FT(b)s(esc)m(hr)3059 655 y(\177)3059 651 y(ankt)44 b(ist.)f(Da)70 b FR(K)515 771 y FT(k)m(ompakt)30 b(ist,)g(\014nden)h(wir)f(eine)g(T)-8 b(eilfolge)59 b(\()p FR(x)2236 786 y FI(n)2279 798 y Fp(k)2322 771 y FT(\))2360 786 y FI(k)r FQ(2)p FH(N)2527 771 y FT(,)29 b(so)h(dass)59 b(\()p FR(K)7 b(x)3121 786 y FI(n)3164 798 y Fp(k)3207 771 y FT(\))3245 786 y FI(k)r FQ(2)p FH(N)3441 771 y FT(k)m(on)m(v)m(er-)515 891 y(giert.)42 b(Da)f(nac)m(h)i(\(4.8\),)93 b(lim)1483 954 y FI(k)r FQ(!1)1662 891 y FT(\()p FR(x)1755 906 y FI(n)1798 918 y Fp(k)1869 891 y FO(\000)30 b FR(K)7 b(x)2121 906 y FI(n)2164 918 y Fp(k)2206 891 y FT(\))44 b(=)f FR(y)33 b FT(,)42 b(k)m(on)m(v)m(ergiert)i(auc)m(h)72 b(\()p FR(x)3435 906 y FI(n)3478 918 y Fp(k)3521 891 y FT(\))3559 906 y FI(k)r FQ(2)p FH(N)3725 891 y FT(,)515 1042 y(sagen)33 b(wir)g(gegen)62 b FR(x)30 b FT(.)i(Dann)h(ist)62 b FR(x)22 b FO(\000)h FR(K)7 b(x)28 b FT(=)g FR(y)k FT(.)h(Also)g(ist)62 b FR(y)31 b FO(2)61 b FT(Bild)33 b FR(T)43 b FT(.)p 3682 1042 4 66 v 3686 979 59 4 v 3686 1042 V 3744 1042 4 66 v 515 1365 a FS(Theorem)50 b(4.3.2)h FT(\(F)-8 b(redholmsc)m(he)45 b(Alternativ)m(e\))p FS(.)k FK(Sei)74 b FR(T)60 b FT(=)46 b FR(I)37 b FO(\000)30 b FR(K)82 b FK(mit)74 b FR(K)53 b FO(2)515 1485 y(K)q FT(\()p FR(E)6 b FT(\))29 b FK(.)35 b(Dann)f(sind)g(folgende)g(A)n(ussagen)2126 1489 y(\177)2127 1485 y(aquivalent:)600 1688 y(\(i\))78 b FR(T)g FK(ist)35 b(invertierb)-5 b(ar;)570 1891 y(\(ii\))78 b FR(T)g FK(ist)35 b(injektiv;)540 2094 y(\(iii\))78 b FR(T)g FK(ist)35 b(surjektiv.)515 2297 y FS(Bew)m(eis.)60 b FT(\()p FR(ii)p FT(\))29 b FO(\))f FT(\()p FR(iii)p FT(\))i(:)j(Sei)63 b FR(T)76 b FT(injektiv.)34 b(Dann)f(ist)63 b FR(E)2710 2312 y FM(1)2778 2297 y FT(:=)28 b FR(T)14 b(E)68 b FT(ein)33 b(abgesc)m(hlos-)515 2417 y(sener)h(T)-8 b(eilraum)35 b(v)m(on)63 b FR(E)35 b FT(.)e(Angenommen,)65 b FR(E)2307 2432 y FM(1)2375 2417 y FO(6)p FT(=)29 b FR(E)35 b FT(.)e(De\014niere) 64 b FR(E)3160 2432 y FI(n)p FM(+1)3326 2417 y FT(:=)29 b FR(T)14 b(E)3601 2432 y FI(n)3677 2417 y FT(=)515 2538 y FR(T)586 2501 y FI(n)p FM(+1)739 2538 y FR(E)71 b FT(f)915 2542 y(\177)912 2538 y(ur)36 b(alle)65 b FR(n)33 b FO(2)h FN(N)29 b FT(.)36 b(Dann)f(ist)66 b FR(E)2114 2553 y FI(n)p FM(+1)2316 2538 y FT(ein)36 b(abgesc)m(hlossener)j(T)-8 b(eilraum,)37 b(der)515 2658 y(un)m(ter)70 b FR(K)76 b FT(und)69 b FR(T)83 b FT(in)m(v)-5 b(arian)m(t)41 b(ist.)f(Es)h(gilt) 69 b FR(E)2353 2673 y FI(n)p FM(+1)2530 2658 y FO(\032)40 b FR(E)2719 2673 y FI(n)2836 2658 y FT(und)69 b 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FT(=)h(1)62 b(und)515 3140 y FR(d)p FT(\()p FR(u)660 3155 y FI(n)706 3140 y FR(;)17 b(E)822 3155 y FI(n)p FM(+1)959 3140 y FT(\))28 b FO(\025)1140 3100 y FM(1)p 1140 3117 36 4 v 1140 3174 a(2)1214 3140 y FT(.)k(Sei)61 b FR(m)28 b(>)f(n)j FT(.)h(Dann)g(ist)h(Dann)f(ist)61 b FR(T)14 b(u)2772 3155 y FI(n)2838 3140 y FT(+)19 b FR(u)2989 3155 y FI(m)3075 3140 y FO(\000)h FR(T)14 b(u)3299 3155 y FI(m)3393 3140 y FO(2)28 b FR(E)3559 3155 y FI(n)p FM(+1)3725 3140 y FT(.)515 3260 y(Somit)38 b(ist)68 b FO(k)p FR(K)7 b(u)1169 3275 y FI(n)1242 3260 y FO(\000)26 b FR(K)7 b(u)1491 3275 y FI(m)1557 3260 y FO(k)38 b FT(=)f FO(k)p FR(u)1864 3275 y FI(n)1936 3260 y FO(\000)27 b FT(\()p FR(T)14 b(u)2205 3275 y FI(n)2277 3260 y FT(+)26 b FR(u)2435 3275 y FI(m)2527 3260 y FO(\000)g FR(T)14 b(u)2757 3275 y FI(m)2823 3260 y FT(\))p FO(k)37 b(\025)h FT(1)p FR(=)p FT(2)29 b(.)38 b(Damit)g(hat)515 3380 y(\()p FR(K)7 b(u)699 3395 y FI(n)745 3380 y FT(\))783 3395 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1002 3380 y FT(k)m(eine)48 b(k)m(on)m(v)m(ergen)m (te)i(T)-8 b(eilfolge,)48 b(ein)g(Widerspruc)m(h)h(zur)f(Kompaktheit) 515 3501 y(v)m(on)62 b FR(K)37 b FT(.)32 b(Wir)h(hab)s(en)g(gezeigt,)g (dass)63 b FR(E)34 b FT(=)27 b FR(E)2270 3516 y FM(1)2339 3501 y FT(;)33 b(d.h.)62 b FR(T)76 b FT(ist)33 b(surjektiv.)515 3621 y(\()p FR(iii)p FT(\))28 b FO(\))f FT(\()p FR(ii)p FT(\))j(:)h(Sei)61 b FR(T)74 b FT(surjektiv.)32 b(Dann)f(ist)60 b FR(T)2317 3585 y FQ(0)2368 3621 y FT(=)28 b FR(I)e FO(\000)19 b FR(K)2727 3585 y FQ(0)2811 3621 y FT(injektiv.)32 b(Da)e(nac)m(h)i(dem)515 3741 y(Satz)h(v)m(on)h(Sc)m(hauder)64 b FR(K)1457 3705 y FQ(0)1543 3741 y FT(k)m(ompakt)34 b(ist,)g(folgt)f(aus)h(der)f(Implik)-5 b(ation,)34 b(die)g(wir)g(eb)s (en)515 3862 y(b)s(ewiesen)e(hab)s(en,)f(dass)60 b FR(T)1547 3826 y FQ(0)1630 3862 y FT(surjektiv)31 b(ist.)g(Damit)f(ist)60 b FR(T)2726 3826 y FQ(0)2808 3862 y FT(in)m(v)m(ertierbar,)33 b(also)d(auc)m(h)515 3982 y FR(T)75 b FT(\(nac)m(h)34 b(Satz)e(4.1.13\).)g(Die)1659 3986 y(\177)1657 3982 y(ubrigen)h(Implik) -5 b(ationen)34 b(sind)f(klar.)p 3682 3982 4 66 v 3686 3920 59 4 v 3686 3982 V 3744 3982 4 66 v 515 4223 a(Theorem)h(4.3.2)e (b)s(esagt,)g(dass)i(f)1739 4227 y(\177)1736 4223 y(ur)e(die)i(Gleic)m (h)m(ung)515 4442 y(\(4.10\))1116 b FR(x)23 b FO(\000)f FR(K)7 b(x)29 b FT(=)e FR(y)515 4661 y FT(mit)j(gegeb)s(enem)61 b FR(y)30 b FO(2)f FR(E)65 b FT(und)30 b(Un)m(b)s(ek)-5 b(ann)m(ter)61 b FR(x)28 b FO(2)g FR(E)66 b FT(folgende)30 b(Aussagen)3444 4665 y(\177)3444 4661 y(aquiv)-5 b(a-)515 4782 y(len)m(t)33 b(sind:)607 4984 y(\(i\))49 b(F)826 4988 y(\177)823 4984 y(ur)32 b(jedes)63 b FR(y)31 b FO(2)d FR(E)68 b FT(gibt)32 b(es)h(genau)g(eine)h(L)2389 4988 y(\177)2389 4984 y(osung)62 b FR(x)28 b FO(2)g FR(E)35 b FT(;)p eop end %%Page: 105 109 TeXDict begin 105 108 bop 538 266 a FJ(4.3.)54 b(Spektral)-7 b(theorie)37 b(k)n(omp)-7 b(akter)39 b(Opera)-7 b(toren)391 b FT(105)206 530 y(\(ii\))49 b(f)418 534 y(\177)415 530 y(ur)32 b(jedes)63 b FR(y)31 b FO(2)d FR(E)68 b FT(gibt)33 b(es)g(h)1492 534 y(\177)1492 530 y(oc)m(hstens)i(eine)e(L)2142 534 y(\177)2142 530 y(osung)62 b FR(x)29 b FO(2)f FR(E)35 b FT(;)179 730 y(\(iii\))49 b(f)418 734 y(\177)415 730 y(ur)32 b(jedes)63 b FR(y)31 b FO(2)d FR(E)68 b FT(gibt)33 b(es)g(eine)h(L)1700 734 y(\177)1700 730 y(osung)62 b FR(x)28 b FO(2)g FR(E)35 b FT(.)141 922 y(Diese)i(erstaunlic)m(he)960 901 y(\177)948 922 y(Aquiv)-5 b(alenz)38 b(wird)f(als)g FS(\\F)-9 b(redholmsc)m(he)43 b(Alternativ)m(e")36 b FT(b)s(e-)141 1043 y(zeic)m(hnet.)j(Sie)f(l)738 1047 y(\177)738 1043 y(a\031t)e(sic)m(h)i(auc)m(h)g(sp)s(ektral-theoretisc)m (h)h(form)m(ulieren:)f(Das)f(Sp)s(ektrum)141 1163 y(eines)25 b(k)m(ompakten)f(Op)s(erators)f(b)s(esteh)m(t)i(n)m(ur)e(aus)h(Eigen)m (w)m(erten)h(und)f(der)53 b(0)29 b(.)23 b(Genauer)141 1283 y(gilt)33 b(folgendes:)141 1475 y FS(Theorem)j(4.3.3)f FT(\(Sp)s(ektrum)c(k)m(ompakter)h(Op)s(eratoren\))p FS(.)40 b FK(Sei)61 b FR(K)70 b FK(ein)32 b(komp)-5 b(akter)141 1596 y(Op)g(er)g(ator)35 b(auf)f(einem)g(unend)5 b(lich-dimensionalen) 32 b(komplexen)h(Banachr)-5 b(aum)63 b FR(E)35 b FK(.)141 1716 y(Dann)f(gilt:)207 1908 y(\(a\))77 b FT(0)28 b FO(2)g FR(\033)t FT(\()p FR(K)7 b FT(\))29 b FK(;)212 2108 y(\(b\))77 b FR(\033)t FT(\()p FR(K)7 b FT(\))22 b FO(n)g(f)p FT(0)p FO(g)27 b(\032)i FR(\033)1070 2123 y FI(p)1110 2108 y FT(\()p FR(K)7 b FT(\))29 b FK(;)212 2308 y(\(c\))77 b FR(\033)t FT(\()p FR(K)7 b FT(\))64 b FK(ist)35 b(end)5 b(lich)34 b(o)-5 b(der)34 b(es)h(gibt)f(eine)g(Nul)5 b(lfolge)64 b FT(\()p FR(\025)2442 2323 y FI(n)2489 2308 y FT(\))2527 2323 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2733 2308 y FK(in)g FN(C)21 b FO(n)h(f)p FT(0)p FO(g)29 b FK(,)34 b(so)385 2428 y(dass)1278 2548 y FR(\033)t FT(\()p FR(K)7 b FT(\))28 b(=)f FO(f)p FR(\025)1741 2563 y FI(n)1816 2548 y FT(:)g FR(n)h FO(2)g FN(N)p FO(g)22 b([)h(f)p FT(0)p FO(g)k FR(:)141 2757 y FS(Bew)m(eis.)32 b FT(a\))41 b(W)767 2761 y(\177)767 2757 y(are)72 b(0)55 b FR(=)-60 b FO(2)44 b FR(\033)t FT(\()p FR(K)7 b FT(\))29 b(,)42 b(so)h(w)1695 2761 y(\177)1695 2757 y(are)71 b FR(I)52 b FT(=)44 b FR(K)36 b FO(\001)28 b FR(K)2376 2721 y FQ(\000)p FM(1)2542 2757 y FT(k)m(ompakt)43 b(nac)m(h)g(Satz)141 2877 y(4.2.3.)29 b(Damit)g(w)767 2881 y(\177)767 2877 y(are)59 b FR(E)65 b FT(nac)m(h)30 b(Satz)g(2.2.3)f(endlic)m(h)i(dimensional,)g(ein)f (Widerspruc)m(h.)141 2998 y(b\))40 b(Sei)69 b FR(\025)40 b FO(2)g FN(C)26 b FO(n)h(f)p FT(0)p FO(g)i FT(,)39 b(so)h(dass)70 b FR(\025)51 b(=)-61 b FO(2)40 b FR(\033)1721 3013 y FI(p)1761 2998 y FT(\()p FR(K)7 b FT(\))30 b(.)39 b(Dann)g(ist)70 b(\()p FR(I)34 b FO(\000)2697 2958 y FI(K)p 2697 2975 65 4 v 2708 3032 a(\025)2771 2998 y FT(\))39 b(=)2977 2958 y FM(1)p 2974 2975 42 4 v 2974 3032 a FI(\025)3025 2998 y FT(\()p FR(\025)27 b FO(\000)g FR(K)7 b FT(\))141 3118 y(injektiv.)34 b(Nac)m(h)e(Theorem)i(4.3.2)d(ist)62 b(\()p FR(I)29 b FO(\000)1798 3079 y FI(K)p 1798 3095 65 4 v 1809 3152 a(\025)1872 3118 y FT(\))61 b(in)m(v)m(ertierbar,)34 b(also)e(auc)m(h)62 b(\()p FR(\025)21 b FO(\000)h FR(K)7 b FT(\))29 b(.)141 3238 y(c\))g(Sei)59 b FR(")28 b(>)f FT(0)i(.)h(Angenommen,)g(die)g(Menge)59 b FO(f)p FR(\025)28 b FO(2)g FR(\033)t FT(\()p FR(K)7 b FT(\))28 b(:)f FO(j)p FR(\025)p FO(j)g(\025)h FR(")p FO(g)58 b FT(ist)30 b(unendlic)m(h.)141 3359 y(Dann)24 b(gibt)h(es)h(nac)m(h)f(b\))54 b FR(\025)1122 3374 y FI(n)1197 3359 y FO(2)28 b FR(\033)1346 3374 y FI(p)1386 3359 y FT(\()p FR(K)7 b FT(\))29 b(,)c(so)g(dass)55 b FO(j)p FR(\025)2064 3374 y FI(n)2110 3359 y FO(j)28 b(\025)g FR(")h FT(.)c(Wir)f(k)2638 3363 y(\177)2638 3359 y(onnen)i(annehmen,)141 3479 y(dass)58 b(\()p FR(\025)473 3494 y FI(n)520 3479 y FT(\))558 3494 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)757 3479 y FT(k)m(on)m(v)m(ergiert)30 b(und)58 b FR(\025)1536 3494 y FI(n)1610 3479 y FO(6)p FT(=)28 b FR(\025)1771 3494 y FI(m)1895 3479 y FT(f)1928 3483 y(\177)1925 3479 y(ur)57 b FR(n)28 b FO(6)p FT(=)f FR(m)58 b FT(\(sonst)28 b(nehmen)i(wir)e(eine)141 3600 y(T)-8 b(eilfolge\).)48 b(Es)f(gibt)76 b FR(e)1051 3615 y FI(n)1150 3600 y FO(2)52 b FR(E)35 b FT(,)47 b(so)g(dass)77 b FO(k)p FR(e)1934 3615 y FI(n)1981 3600 y FO(k)51 b FT(=)h(1)76 b(und)g FR(K)7 b(e)2708 3615 y FI(n)2807 3600 y FT(=)52 b FR(\025)2992 3615 y FI(n)3039 3600 y FR(e)3084 3615 y FI(n)3160 3600 y FT(.)47 b(Die)141 3720 y(V)-8 b(ektoren)70 b FO(f)p FR(e)687 3735 y FM(1)727 3720 y FR(;)17 b FO(\001)g(\001)g(\001)d FR(e)948 3735 y FI(n)995 3720 y FO(g)69 b FT(sind)41 b(linear)f(unabh)1871 3724 y(\177)1871 3720 y(angig)g(f)2172 3724 y(\177)2169 3720 y(ur)f(jedes)70 b FR(n)40 b FO(2)h FN(N)29 b FT(.)40 b(Sei)69 b FR(E)3216 3735 y FI(n)3303 3720 y FT(=)141 3840 y(lin)q FO(f)p FR(e)345 3855 y FM(1)384 3840 y FR(;)17 b(:)g(:)g(:)f(e)604 3855 y FI(n)651 3840 y FO(g)29 b FT(.)k(Nac)m(h)g(dem)g(Lemma)g(v)m(on)h(Riesz)f(gibt)g(es) 63 b FR(u)2440 3855 y FI(n)2514 3840 y FO(2)28 b FR(E)2680 3855 y FI(n)2789 3840 y FT(mit)62 b FO(k)p FR(u)3103 3855 y FI(n)3149 3840 y FO(k)28 b FT(=)f(1)141 3961 y(und)68 b FR(d)p FT(\()p FR(u)516 3976 y FI(n)562 3961 y FR(;)17 b(E)678 3976 y FI(n)p FQ(\000)p FM(1)815 3961 y FT(\))36 b FO(\025)1013 3921 y FM(1)p 1013 3938 36 4 v 1013 3995 a(2)1088 3961 y FT(.)h(Beac)m(h)m(te,)j(dass)68 b FR(K)7 b(u)1945 3976 y FI(n)2017 3961 y FO(\000)26 b FR(\025)2177 3976 y FI(n)2224 3961 y FR(u)2280 3976 y FI(n)2363 3961 y FO(2)37 b FR(E)2538 3976 y FI(n)p FQ(\000)p FM(1)2704 3961 y FT(.)h(\(Man)g(sc)m(hreib)s(e)141 4151 y FR(u)197 4166 y FI(n)274 4151 y FT(=)420 4056 y FI(n)389 4076 y FG(P)380 4236 y FI(j)t FM(=1)519 4151 y FR(\013)581 4166 y FI(j)618 4151 y FR(e)663 4166 y FI(j)729 4151 y FT(.)c(Dann)g(ist)64 b FR(K)7 b(u)1369 4166 y FI(n)1438 4151 y FO(\000)24 b FR(\025)1596 4166 y FI(n)1643 4151 y FR(u)1699 4166 y FI(n)1776 4151 y FT(=)1922 4056 y FI(n)1891 4076 y FG(P)1882 4236 y FI(j)t FM(=1)2005 4151 y FT(\()p FR(\013)2105 4166 y FI(j)2141 4151 y FR(\025)2198 4166 y FI(j)2235 4151 y FR(e)2280 4166 y FI(j)2339 4151 y FO(\000)g FR(\025)2497 4166 y FI(n)2544 4151 y FR(\013)2606 4166 y FI(j)2643 4151 y FR(e)2688 4166 y FI(j)2724 4151 y FT(\))31 b(=)2899 4056 y FI(n)p FQ(\000)p FM(1)2913 4076 y FG(P)2904 4236 y FI(j)t FM(=1)3048 4151 y FR(\013)3110 4166 y FI(j)3147 4151 y FT(\()p FR(\025)3242 4166 y FI(j)3302 4151 y FO(\000)141 4342 y FR(\025)198 4357 y FI(n)245 4342 y FT(\))p FR(e)328 4357 y FI(j)365 4342 y FT(\))e(.)j(Damit)h(ist) g(f)963 4346 y(\177)960 4342 y(ur)61 b(2)28 b FO(\024)g FR(m)g(<)g(n)h FT(,)625 4601 y FO(k)685 4534 y FR(K)7 b(u)831 4549 y FI(n)p 685 4578 193 4 v 729 4670 a FR(\025)786 4685 y FI(n)909 4601 y FO(\000)1019 4534 y FR(K)g(u)1165 4549 y FI(m)p 1019 4578 213 4 v 1063 4670 a FR(\025)1120 4685 y FI(m)1241 4601 y FO(k)28 b FT(=)f FO(k)1482 4534 y FR(K)7 b(u)1628 4549 y FI(n)1697 4534 y FO(\000)22 b FR(\025)1853 4549 y FI(n)1900 4534 y FR(u)1956 4549 y FI(n)p 1482 4578 521 4 v 1690 4670 a FR(\025)1747 4685 y FI(n)2035 4601 y FO(\000)2144 4534 y FR(K)7 b(u)2290 4549 y FI(m)p 2144 4578 213 4 v 2189 4670 a FR(\025)2246 4685 y FI(m)2389 4601 y FT(+)22 b FR(u)2543 4616 y FI(n)2589 4601 y FO(k)28 b(\025)2782 4534 y FT(1)p 2782 4578 49 4 v 2782 4670 a(2)2868 4601 y FR(;)141 4864 y FT(da)68 b FR(K)7 b(u)458 4879 y FI(n)531 4864 y FO(\000)27 b FR(\025)692 4879 y FI(n)739 4864 y FR(u)795 4879 y FI(n)880 4864 y FO(2)39 b FR(E)1057 4879 y FI(n)p FQ(\000)p FM(1)1262 4864 y FT(und)1503 4825 y FI(K)5 b(u)1609 4833 y Fp(m)p 1503 4841 164 4 v 1534 4898 a FI(\025)1575 4906 y Fp(m)1715 4864 y FO(2)38 b FR(E)1891 4879 y FI(m)1996 4864 y FO(\032)h FR(E)2184 4879 y FI(n)p FQ(\000)p FM(1)2351 4864 y FT(.)g(F)-8 b(olglic)m(h)39 b(hat)68 b(\()3042 4825 y FI(K)5 b(u)3148 4833 y Fp(n)p 3042 4841 148 4 v 3074 4898 a FI(\025)3115 4906 y Fp(n)3199 4864 y FT(\))3237 4879 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)141 4984 y FT(k)m(eine)38 b(k)m(on)m(v)m(ergen)m(te)h(T)-8 b(eilfolge.)36 b(Da)65 b(\()p FR(\025)1638 4999 y FI(n)1684 4984 y FT(\))1722 4999 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1929 4984 y FT(k)m(on)m(v)m(ergiert,)39 b(k)-5 b(ann)36 b(auc)m(h)66 b(\()p FR(K)7 b(u)3153 4999 y FI(n)3199 4984 y FT(\))3237 4999 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)p eop end %%Page: 106 110 TeXDict begin 106 109 bop 515 266 a FT(106)1070 b FJ(4.)55 b(Spektral)-7 b(theorie)515 530 y FT(k)m(eine)29 b(k)m(on)m(v)m(ergen)m (te)h(T)-8 b(eilfolge)28 b(hab)s(en.)g(Das)f(ist)h(ein)g(Widerspruc)m (h)i(zur)e(Kompaktheit)515 651 y(v)m(on)62 b FR(K)37 b FT(.)p 3682 651 4 66 v 3686 588 59 4 v 3686 651 V 3744 651 4 66 v 515 854 a FS(Aufgab)s(e)61 b(4.3.4)f FT(\(V)-8 b(olterra)52 b(Op)s(erator\))p FS(.)f FK(Sei)81 b FR(E)67 b FT(=)61 b FR(C)7 b FT([0)p FR(;)17 b FT(1])28 b FK(.)53 b(De\014nier)-5 b(e)81 b FR(T)74 b FO(2)515 974 y(L)p FT(\()p FR(C)7 b FT([0)p FR(;)17 b FT(1]\))63 b FK(dur)-5 b(ch)1665 1146 y FR(T)14 b(f)d FT(\()p FR(x)p FT(\))28 b(=)2057 1010 y FG(Z)2157 1036 y FI(x)2113 1236 y FM(0)2218 1146 y FR(f)11 b FT(\()p FR(y)t FT(\))33 b FR(dy)38 b(:)620 1402 y FK(a\))49 b(Zeige,)34 b(dass)63 b FR(T)78 b FK(komp)-5 b(akt)34 b(ist.)625 1605 y(b\))49 b(Zeige,)34 b(dass)63 b FR(\033)t FT(\()p FR(T)14 b FT(\))27 b(=)h FO(f)p FT(0)p FO(g)g FK(.)515 1808 y FF(Anleitung:)33 b FT(Bemerk)m(e,)i(dass)63 b FR(\033)t FT(\()p FR(T)14 b FT(\))21 b FO(n)h(f)p FT(0)p FO(g)27 b(\032)i FR(\033)2267 1823 y FI(p)2307 1808 y FT(\()p FR(T)14 b FT(\))29 b(.)p eop end %%Page: 107 111 TeXDict begin 107 110 bop 141 1198 a FW(Kapitel)77 b(5)141 1616 y(Hilb)6 b(ertr)972 1626 y(\177)974 1616 y(aume)141 2072 y FT(W)-8 b(egen)39 b(ihrer)f(b)s(esonderen)i(geometrisc)m(hen)g (und)e(analytisc)m(hen)i(Eigensc)m(haften)g(bil-)141 2192 y(den)25 b(Hilb)s(ertr)658 2196 y(\177)658 2192 y(aume)h(die)f(wic)m(h)m(tigste)i(Klasse)f(v)m(on)f(Banac)m(hr)2334 2196 y(\177)2334 2192 y(aumen.)h(Wir)f(b)s(esc)m(hr)3128 2196 y(\177)3128 2192 y(ank)m(en)141 2312 y(uns)30 b(hier)g(auf)f (separable)i(R)1169 2316 y(\177)1169 2312 y(aume;)f(n)m(ur)g(diese)g (treten)g(in)g(den)g(An)m(w)m(endungen)i(auf,)d(die)141 2433 y(wir)40 b(im)g(Auge)g(hab)s(en.)g(Im)g(Mittelpunkt)h(der)f (Theorie)h(steh)m(t)g(der)f(Pro)5 b(jektionssatz)141 2553 y(\()p FO(x)38 b FT(5.2\).)f(Eine)i(k)m(onkrete)g(Realisierung)g (dieses)g(Satzes)g(ist)f(die)g(Konstruktion)g(einer)141 2673 y(Orthonormalbasis)46 b(in)g(jedem)g(separablen)h(Pr)1970 2677 y(\177)1970 2673 y(ahilb)s(ertraum)f(\()p FO(x)f FT(5.3\).)g(F)-8 b(ourierrei-)141 2794 y(hen)28 b(bilden)g(ein)f(in)m (teressan)m(tes)j(An)m(w)m(endungsb)s(eispiel)i(\()p FO(x)27 b FT(5.5\).)f(Sc)m(hlie\031lic)m(h)k(b)s(ew)m(eisen)141 2914 y(wir)41 b(den)g(wic)m(h)m(tigen)i(Sp)s(ektralsatz)e(f)1550 2918 y(\177)1547 2914 y(ur)f(k)m(ompakte)i(selbstadjungierte)h(Op)s (eratoren)141 3035 y(\()p FO(x)33 b FT(5.4\).)141 3387 y FL(5.1)161 b(Pr)684 3394 y(\177)685 3387 y(ahilb)t(ertr)1305 3394 y(\177)1306 3387 y(aume)141 3612 y FT(Das)33 b(v)m(on)63 b FN(R)622 3576 y FM(2)724 3612 y FT(und)h FN(R)1022 3576 y FM(3)1123 3612 y FT(b)s(ek)-5 b(ann)m(te)35 b(Sk)-5 b(alarpro)s(dukt)33 b(f)2209 3616 y(\177)2206 3612 y(uhrt)h(zu)f (folgender)h(axiomati-)141 3733 y(sc)m(hen)h(De\014nition.)141 4073 y FS(De\014nition)h(5.1.1.)k FK(Sei)61 b FR(E)68 b FK(ein)33 b(V)-7 b(ektorr)i(aum)1985 4077 y(\177)1985 4073 y(ub)g(er)62 b FN(K)30 b FK(.)j(Eine)f(A)n(bbildung)61 b FT(\()33 b FR(:)p FO(j)p FR(:)f FT(\))c(:)141 4193 y FR(E)34 b FO(\002)29 b FR(E)48 b FO(!)42 b FN(K)17 b FR(;)33 b FT(\()p FR(x;)17 b(y)t FT(\))42 b FO(7!)g FT(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))70 b FK(hei\031t)43 b FS(Sk)-6 b(alarpro)s(dukt)p FK(,)44 b(fal)5 b(ls)42 b(f)2762 4197 y(\177)2762 4193 y(ur)i(al)5 b(le)71 b FR(x;)17 b(y)46 b FO(2)141 4313 y FR(E)23 b(;)33 b(\025)28 b FO(2)g FN(K)64 b FK(gilt:)193 4425 y FT(\()p FR(a)p FT(\))35 b(\()p FR(x)22 b FT(+)g FR(y)e FO(j)d FR(z)t FT(\))27 b(=)h(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(z)t FT(\))22 b(+)g(\()p FR(y)e FO(j)d FR(z)t FT(\))193 4546 y(\()p FR(b)p FT(\))35 b(\()p FR(\025x)17 b FO(j)g FR(z)t FT(\))27 b(=)h FR(\025)p FT(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(z)t FT(\))1540 4346 y FG(\033)1632 4486 y FK(\(Line)-5 b(arit)2010 4490 y(\177)2011 4486 y(at\))o FT(;)183 4685 y(\()p FR(c)p FT(\))34 b(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))26 b(=)p 710 4598 244 4 v 28 w(\()p FR(y)20 b FO(j)d FR(x)p FT(\))34 b FK(\(Symmetrie\))o FT(;)183 4805 y(\()p FR(d)p FT(\))g(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(x)p FT(\))27 b FR(>)h FT(0)35 b FK(fal)5 b(ls)34 b FR(x)28 b FO(6)p FT(=)f(0)35 b FK(\(Positive)f (De\014nitheit\).)141 4984 y(Man)41 b(nennt)f(dann)69 b FT(\()p FR(E)6 b(;)17 b FT(\()40 b FR(:)p FO(j)p FR(:)g FT(\)\))70 b FK(einen)39 b FS(Pr)1832 4989 y(\177)1833 4984 y(ahilb)s(ertraum)p FK(.)j(Sei)69 b FT(\()p FR(E)6 b(;)17 b FT(\()40 b FR(:)p FO(j)p FR(:)h FT(\)\))69 b FK(ein)1687 5233 y FT(107)p eop end %%Page: 108 112 TeXDict begin 108 111 bop 515 266 a FT(108)1143 b FJ(5.)55 b(Hilber)-7 b(tr)2398 262 y(\177)2395 266 y(aume)515 530 y FK(Pr)621 534 y(\177)622 530 y(ahilb)i(ertr)g(aum.)515 832 y FT(Wir)30 b(w)m(erden)h(Eigensc)m(haften)g(des)g(Sk)-5 b(alarpro)s(dukts)30 b(b)s(esc)m(hreib)s(en)i(und)e(insb)s(esondere)515 952 y FR(E)73 b FT(auf)38 b(nat)975 956 y(\177)972 952 y(urlic)m(he)h(W)-8 b(eise)40 b(normieren.)f(Aus)g(der)g(De\014nition)f (erhalten)h(wir)f(unmit-)515 1073 y(telbar)33 b(folgende)g(einfac)m(he) h(Eigensc)m(haften)g(f)2205 1077 y(\177)2202 1073 y(ur)62 b FR(x;)17 b(y)t(;)g(z)31 b FO(2)d FR(E)23 b(;)33 b(\025)28 b FO(2)g FN(K)i FT(:)515 1267 y(\(5.1\))815 b(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)25 b FT(+)d FR(z)t FT(\))28 b(=)g(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))j(+)i(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(z)t FT(\))28 b(;)515 1655 y(\(5.2\))1024 b(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(\025y)t FT(\))26 b(=)2176 1629 y(\026)2172 1655 y FR(\025)p FT(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))26 b FR(:)515 1850 y FT(Allgemeiner)34 b(gilt)515 2114 y(\(5.3\))513 b(\()1318 1990 y FI(n)1267 2020 y FG(X)1282 2230 y FI(i)p FM(=1)1444 2114 y FR(\025)1501 2129 y FI(i)1529 2114 y FR(x)1584 2129 y FI(i)1629 2114 y FO(j)1731 1990 y FI(m)1690 2020 y FG(X)1701 2230 y FI(j)t FM(=1)1867 2114 y FR(\026)1926 2129 y FI(j)1963 2114 y FR(y)2011 2129 y FI(j)2047 2114 y FT(\))27 b(=)2266 1990 y FI(n)2216 2020 y FG(X)2231 2230 y FI(i)p FM(=1)2417 1990 y FI(m)2376 2020 y FG(X)2387 2230 y FI(j)t FM(=1)2554 2114 y FR(\025)2611 2129 y FI(i)p 2639 2059 96 4 v 2639 2114 a FR(\026)2698 2129 y FI(j)2734 2114 y FT(\()p FR(x)2827 2129 y FI(i)2872 2114 y FO(j)17 b FR(y)2965 2129 y FI(j)3000 2114 y FT(\))515 2404 y(f)548 2408 y(\177)545 2404 y(ur)61 b FR(x)753 2419 y FM(1)793 2404 y FR(;)17 b(:)g(:)g(:)f(x)1023 2419 y FI(n)1087 2404 y FR(;)33 b(y)1195 2419 y FM(1)1234 2404 y FR(;)17 b(:)g(:)g(:)f(y)1457 2419 y FI(m)1551 2404 y FO(2)28 b FR(E)23 b(;)33 b(\025)1857 2419 y FM(1)1896 2404 y FR(;)17 b(:)g(:)g(:)f(;)h(\025)2172 2419 y FI(n)2219 2404 y FR(;)g(\026)2322 2419 y FM(1)2361 2404 y FR(;)g(:)g(:)g(:)e (\026)2594 2419 y FI(m)2688 2404 y FO(2)28 b FN(K)i FT(.)j(W)-8 b(egen)33 b(Eigensc)m(haft)515 2524 y(\(d\))f(k)728 2528 y(\177)728 2524 y(onnen)i(wir)1839 2658 y FO(k)p FR(x)p FO(k)28 b FT(=)g(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(x)p FT(\))2384 2590 y FE(1)p 2383 2602 31 3 v 2383 2643 a(2)515 2821 y FT(f)548 2825 y(\177)545 2821 y(ur)61 b FR(x)29 b FO(2)f FR(E)67 b FT(de\014nieren.)35 b(Es)e(ist)g(klar,)g(dass)515 3015 y(\(5.4\))889 b FO(k)p FR(x)p FO(k)28 b FT(=)f(0)h FO(,)f FR(x)h FT(=)g(0)f(;)115 b(und)515 3404 y(\(5.5\))856 b FO(k)p FR(\025x)p FO(k)28 b FT(=)g FO(j)p FR(\025)p FO(j)f(k)p FR(x)p FO(k)97 b FT(\()p FR(\025)28 b FO(2)g FN(K)p FT(\))g FR(:)515 3598 y FT(Wir)k(w)m(erden)i(nac)m(h)e(einer)h (kleinen)h(V)-8 b(orb)s(ereitung)32 b(die)h(Dreiec)m(ksungleic)m(h)m (ung)j(b)s(ew)m(ei-)515 3718 y(sen,)d(so)g(dass)63 b FO(k)27 b(k)62 b FT(eine)33 b(Norm)g(auf)62 b FR(E)67 b FT(ist.)515 4020 y FS(Beispiel)41 b(5.1.2.)j FT(\(a\))35 b(Sei)65 b FR(E)39 b FT(=)33 b FN(R)1883 3984 y FM(2)1951 4020 y FT(.)j(Das)f(Sk)-5 b(alarpro)s(dukt)65 b(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))31 b(=)i FR(x)3320 4035 y FM(1)3360 4020 y FR(y)3408 4035 y FM(1)3471 4020 y FT(+)24 b FR(x)3626 4035 y FM(2)3666 4020 y FR(y)3714 4035 y FM(2)515 4140 y FT(k)-5 b(ann)39 b(geometrisc)m(h)j(in)m (terpretiert)e(w)m(erden:)i(Sei)69 b FO(k)p FR(x)p FO(k)39 b FT(=)h FO(k)p FR(y)t FO(k)e FT(=)h(1)29 b(.)39 b(Dann)g(k)3497 4144 y(\177)3497 4140 y(onnen)515 4261 y(wir)71 b FR(x)42 b FT(=)h(\(cos)17 b FR(\022)1167 4276 y FM(1)1207 4261 y FR(;)g FT(sin)g FR(\022)1432 4276 y FM(1)1472 4261 y FT(\))g FR(;)33 b(y)45 b FT(=)d(\(cos)18 b FR(\022)2029 4276 y FM(2)2068 4261 y FR(;)f FT(sin)h FR(\022)2294 4276 y FM(2)2333 4261 y FT(\))71 b(sc)m(hreib)s(en.)43 b(Damit)e(ist)71 b(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))41 b(=)515 4381 y(\(cos)17 b FR(\022)745 4396 y FM(1)814 4381 y FO(\001)29 b FT(cos)17 b FR(\022)1063 4396 y FM(2)1132 4381 y FT(+)29 b(sin)17 b FR(\022)1418 4396 y FM(1)1487 4381 y FO(\001)29 b FT(sin)17 b FR(\022)1725 4396 y FM(2)1765 4381 y FT(\))45 b(=)g(cos)q(\()p FR(\022)2183 4396 y FM(1)2252 4381 y FO(\000)29 b FR(\022)2403 4396 y FM(2)2443 4381 y FT(\))g(,)43 b(w)m(ob)s(ei)73 b FR(\022)2941 4396 y FM(1)3010 4381 y FO(\000)30 b FR(\022)3162 4396 y FM(2)3274 4381 y FT(der)43 b(Wink)m(el)515 4502 y(zwisc)m(hen)35 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b(die)g(Aussage)h(trivial;)g(und)f(der)g(allgemeine)h(F) -8 b(all)36 b(ergibt)h(sic)m(h,)i(indem)f(man)3670 2580 y FI(y)p 3635 2600 108 4 v 3635 2658 a FQ(k)p FI(y)r FQ(k)515 2757 y FT(statt)70 b FR(y)j FT(b)s(etrac)m(h)m(tet\).)42 b(Da)69 b(\()p FR(x)28 b FO(\000)h FT(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))p FR(y)t FT(\))39 b FO(?)j FR(y)73 b FT(ergibt)41 b(sic)m(h)h(aus)f(dem)h(Satz)f(v)m(on)515 2878 y(Pythagoras:)1332 3077 y FO(k)p FR(x)p FO(k)1487 3036 y FM(2)1611 3077 y FT(=)83 b FO(k)p FR(x)23 b FO(\000)f FT(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))p FR(y)24 b FT(+)e(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))p FR(y)t FO(k)2759 3036 y FM(2)1611 3223 y FT(=)83 b FO(k)p FR(x)23 b FO(\000)f FT(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))p FR(y)t FO(k)2344 3182 y FM(2)2403 3223 y FT(+)22 b FO(k)p FT(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))p FR(y)t FO(k)2898 3182 y FM(2)1611 3368 y FT(=)83 b FO(k)p FR(x)23 b FO(\000)f FT(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(y)t FT(\))p FR(y)t FO(k)2344 3327 y FM(2)2403 3368 y FT(+)22 b FO(j)p 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begin 111 114 bop 875 266 a FJ(5.2.)54 b(Or)-7 b(thogonale)39 b(Pr)n(ojektionen)729 b FT(111)141 530 y(Damit)35 b(ist)h(b)s(ewiesen,)i(dass)66 b FO(k)p FR(x)p FO(k)33 b FT(=)1566 445 y FG(p)p 1666 445 248 4 v 85 x FT(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(x)p FT(\))64 b(eine)37 b(Norm)e(auf)65 b FR(E)71 b FT(de\014niert.)37 b(Wir)141 651 y(w)m(erden)32 b(immer)f(diese)h(k)-5 b(anonisc)m(he)32 b(Norm)e(auf)g(einem)h(Pr)2313 655 y(\177)2313 651 y(ahilb)s(ertraum)g (b)s(etrac)m(h)m(ten.)141 771 y(Das)h(Sk)-5 b(alarpro)s(dukt)33 b(ist)g(dann)g(eine)h(stetige)f(Abbildung)63 b(\()32 b FR(:)p FO(j)p FR(:)h FT(\))27 b(:)h FR(E)g FO(\002)23 b FR(E)34 b FO(!)27 b FN(K)j FT(.)141 1076 y FS(Lemma)d(5.1.6.)34 b FK(Sei)77 b FT(lim)1004 1136 y FI(n)p FQ(!1)1205 1076 y FR(x)1260 1091 y FI(n)1335 1076 y FT(=)27 b FR(x)17 b(;)58 b FT(lim)1571 1136 y FI(n)p FQ(!1)1771 1076 y FR(y)1819 1091 y FI(n)1894 1076 y FT(=)27 b FR(y)57 b FK(in)d FR(E)36 b FK(.)24 b(Dann)g(gilt)79 b FT(lim)2847 1136 y FI(n)p FQ(!1)3031 1076 y 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y(andig)36 b(ist.)f(Aus)g(den)h(Eigensc)m(haften)h(des)e(Sk)-5 b(alarpro)s(duktes)36 b(erh)3638 895 y(\177)3638 891 y(alt)515 1012 y(man)d(folgende)g(Iden)m(tit)1400 1016 y(\177)1400 1012 y(at.)515 1205 y FS(Lemma)39 b(5.2.2)f FT(\(P)m(arallelogrammgesetz\))p FS(.)1050 1414 y FO(k)p FR(x)22 b FT(+)g FR(y)t FO(k)1377 1373 y FM(2)1438 1414 y FT(+)g FO(k)p FR(x)g FO(\000)h FR(y)t FO(k)1865 1373 y FM(2)1931 1414 y FT(=)28 b(2)p FO(k)p FR(x)p FO(k)2239 1373 y FM(2)2300 1414 y FT(+)22 b(2)p FO(k)p FR(y)t FO(k)2599 1373 y FM(2)2737 1414 y FT(\()p FR(x;)17 b(y)30 b FO(2)f FR(E)6 b FT(\))27 b FR(:)515 1623 y FT(Damit)32 b(k)868 1627 y(\177)868 1623 y(onnen)i(wir)f(n)m(un)g(den)g(folgenden)g(wic)m (h)m(tigen)i(Satz)e(b)s(ew)m(eisen.)515 1816 y FS(Theorem)39 b(5.2.3)f FT(\(Pro)5 b(jektionssatz\))p FS(.)44 b FK(Sei)64 b FR(E)71 b FK(ein)35 b(Pr)2674 1820 y(\177)2675 1816 y(ahilb)-5 b(ertr)g(aum)35 b(und)65 b FR(F)42 b FO(\032)30 b FR(E)515 1937 y FK(ein)k(vol)5 b(lst)900 1941 y(\177)901 1937 y(andiger)34 b(T)-7 b(eilr)i(aum.)33 b(Dann)h(gilt)515 2145 y FT(\(5.11\))1070 b FR(E)33 b FT(=)28 b FR(F)36 b FO(\010)22 b FR(F)2319 2104 y FQ(?)2406 2145 y FR(:)515 2354 y FS(Bew)m(eis.)31 b FT(Es)40 b(folgt)e(aus)h(der)g(De\014nitheit) g(des)h(Sk)-5 b(alarpro)s(duktes,)40 b(dass)68 b FR(F)40 b FO(\\)27 b FR(F)3580 2318 y FQ(?)3677 2354 y FT(=)515 2474 y FO(f)p FT(0)p FO(g)h FT(.)e(Sei)56 b FR(x)28 b FO(2)g FR(E)36 b FT(.)26 b(Es)g(bleibt)h(zu)g(zeigen,)g(dass)56 b FR(y)2383 2489 y FM(0)2450 2474 y FO(2)28 b FR(F)68 b FT(existiert,)28 b(so)e(dass)56 b FR(x)9 b FO(\000)g FR(y)3619 2489 y FM(0)3686 2474 y FO(2)515 2595 y FR(F)592 2558 y FQ(?)680 2595 y FT(,)32 b(o)s(der)h(nac)m(h)g(Satz)g(5.2.1,)61 b FO(k)p FR(x)23 b FO(\000)f FR(y)1970 2610 y FM(0)2009 2595 y FO(k)28 b FT(=)f FR(d)i FT(,)k(w)m(ob)s(ei)1555 2803 y FR(d)27 b FT(:=)h(inf)23 b FO(fk)p FR(x)f FO(\000)h FR(y)t FO(k)k FT(:)h FR(y)i FO(2)e FR(F)14 b FO(g)28 b FR(:)515 3012 y FT(Sei)71 b FR(y)758 3027 y FI(n)846 3012 y FO(2)43 b FR(F)g FT(,)e(so)h(dass)95 b(lim)1508 3072 y FI(n)p FQ(!1)1708 3012 y FO(k)p FR(x)29 b FO(\000)f FR(y)1995 3027 y FI(n)2042 3012 y FO(k)42 b FT(=)g FR(d)29 b FT(.)41 b(Aus)h(dem)g(P)m(arallelogrammgesetz)515 3159 y(erh)650 3163 y(\177)650 3159 y(alt)33 b(man)700 3368 y FO(k)p FR(y)798 3383 y FI(n)866 3368 y FO(\000)23 b FR(y)1014 3383 y FI(m)1080 3368 y FO(k)1130 3327 y FM(2)1253 3368 y FT(=)84 b FO(k)p FT(\()p FR(y)1549 3383 y FI(n)1617 3368 y FO(\000)23 b FR(x)p FT(\))f FO(\000)h FT(\()p FR(y)2018 3383 y FI(m)2106 3368 y FO(\000)g FR(x)p FT(\))p FO(k)2349 3327 y FM(2)1253 3513 y FT(=)84 b(2)p FO(k)p FR(y)1560 3528 y FI(n)1628 3513 y FO(\000)23 b FR(x)p FO(k)1833 3472 y FM(2)1895 3513 y FT(+)f(2)p FO(k)p FR(y)2140 3528 y FI(m)2227 3513 y FO(\000)h FR(x)p FO(k)2432 3472 y FM(2)2494 3513 y FO(\000)f(k)p FT(\()p FR(y)2729 3528 y FI(n)2798 3513 y FO(\000)h FR(x)p FT(\))f(+)g(\()p FR(y)3197 3528 y FI(m)3285 3513 y FO(\000)h FR(x)p FT(\))p FO(k)3528 3472 y FM(2)1253 3658 y FT(=)84 b(2)p FO(k)p FR(y)1560 3673 y FI(n)1628 3658 y FO(\000)23 b FR(x)p FO(k)1833 3617 y FM(2)1895 3658 y FT(+)f(2)p FO(k)p FR(y)2140 3673 y FI(m)2227 3658 y FO(\000)h FR(x)p FO(k)2432 3617 y FM(2)2494 3658 y FO(\000)f(k)p FR(y)2691 3673 y FI(n)2760 3658 y FT(+)g FR(y)2906 3673 y FI(m)2994 3658 y FO(\000)h FT(2)p FR(x)p FO(k)3248 3617 y FM(2)1253 3841 y FT(=)84 b(2)p FO(k)p FR(y)1560 3856 y FI(n)1628 3841 y FO(\000)23 b FR(x)p FO(k)1833 3800 y FM(2)1895 3841 y FT(+)f(2)p FO(k)p FR(y)2140 3856 y FI(m)2227 3841 y FO(\000)h FR(x)p FO(k)2432 3800 y FM(2)2494 3841 y FO(\000)f FT(4)p FO(k)2702 3774 y FR(y)2750 3789 y FI(n)2819 3774 y FT(+)g FR(y)2965 3789 y FI(m)p 2702 3818 329 4 v 2842 3910 a FT(2)3063 3841 y FO(\000)h FR(x)p FO(k)3268 3800 y FM(2)1252 4027 y FO(\024)84 b FT(2)p FO(k)p FR(y)1560 4042 y FI(n)1628 4027 y FO(\000)23 b FR(x)p FO(k)1833 3986 y FM(2)1895 4027 y FT(+)f(2)p FO(k)p FR(y)2140 4042 y FI(m)2227 4027 y FO(\000)h FR(x)p FO(k)2432 3986 y FM(2)2494 4027 y FO(\000)f FT(4)p FR(d)2693 3986 y FM(2)2760 4027 y FR(;)515 4235 y FT(w)m(ob)s(ei)29 b(sic)m(h)h(die)g(letzte)f(Ungleic)m(h)m(ung)i (aus)e(der)g(De\014nition)g(v)m(on)59 b FR(d)f FT(ergibt.)29 b(Damit)f(ist)580 4356 y(lim)515 4415 y FI(n;m)p FQ(!1)797 4356 y FO(k)p FR(y)895 4371 y FI(n)964 4356 y FO(\000)22 b FR(y)1111 4371 y FI(m)1178 4356 y FO(k)1228 4320 y FM(2)1294 4356 y FT(=)28 b(0)h(.)515 4596 y(Wir)37 b(hab)s(en)f (gezeigt,)i(dass)66 b(\()p FR(y)1698 4611 y FI(n)1745 4596 y FT(\))1783 4611 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1991 4596 y FT(eine)37 b(Cauc)m(h)m(yfolge)h(bildet.)g(Nac)m(h)f(V)-8 b(orausset-)515 4717 y(zung)37 b(existiert)67 b FR(y)1210 4732 y FM(0)1283 4717 y FT(=)59 b(lim)1394 4777 y FI(n)p FQ(!1)1594 4717 y FR(y)1642 4732 y FI(n)1723 4717 y FO(2)35 b FR(F)43 b FT(.)36 b(Es)h(ist)g(dann)66 b FO(k)p FR(x)26 b FO(\000)f FR(y)2832 4732 y FM(0)2871 4717 y FO(k)34 b FT(=)58 b(lim)3065 4777 y FI(n)p FQ(!1)3266 4717 y FO(k)p FR(x)25 b FO(\000)g FR(y)3546 4732 y FI(n)3593 4717 y FO(k)34 b FT(=)515 4864 y FR(d)29 b FT(.)p 3682 4864 4 66 v 3686 4802 59 4 v 3686 4864 V 3744 4864 4 66 v eop end %%Page: 113 117 TeXDict begin 113 116 bop 875 266 a FJ(5.2.)54 b(Or)-7 b(thogonale)39 b(Pr)n(ojektionen)729 b FT(113)141 530 y(Der)40 b(Pro)5 b(jektionssatz)43 b(b)s(esagt)e(folgendes:)g(Zu)f (jedem)71 b FR(x)42 b FO(2)f FR(E)76 b FT(gibt)40 b(es)i(genau)e(ein) 141 651 y(P)m(aar)68 b(\()p FR(y)t(;)17 b(z)t FT(\))38 b FO(2)g FR(F)i FO(\002)27 b FR(F)1055 615 y FQ(?)1143 651 y FT(,)38 b(so)h(dass)69 b FR(x)38 b FT(=)g FR(y)29 b FT(+)e FR(z)34 b FT(.)k(Die)h(Abbildung)69 b FR(P)51 b FT(:)38 b FR(E)44 b FO(!)38 b FR(E)d FT(,)141 771 y(die)h(jedem)66 b FR(x)f FT(dieses)i FR(y)36 b FO(2)d FR(F)78 b FT(zuordnet,)37 b(hei\031t)f FS(die)41 b(orthogonale)h(Pro)6 b(jektion)141 891 y(v)m(on)63 b FR(E)68 b FS(auf)63 b FR(F)43 b FT(.)29 b(Damit)f(ist)59 b FR(P)41 b FT(:)27 b FR(E)34 b FO(!)27 b FR(E)64 b FT(linear,)59 b FR(P)2281 855 y FM(2)2347 891 y FT(=)28 b FR(P)43 b FT(.)28 b(Aus)i(dem)f(Satz)g(v)m(on)141 1012 y(Pythagoras)34 b(folgt)63 b FO(k)p FR(x)p FO(k)1067 976 y FM(2)1136 1012 y FT(=)30 b FO(k)p FR(y)t FO(k)1394 976 y FM(2)1455 1012 y FT(+)23 b FO(k)p FR(z)t FO(k)1703 976 y FM(2)1772 1012 y FO(\025)31 b(k)p FR(y)t FO(k)2032 976 y FM(2)2100 1012 y FT(=)e FO(k)p FR(P)14 b(x)p FO(k)2437 976 y FM(2)2505 1012 y FT(.)34 b(Also)g(ist)64 b FR(P)43 b FO(2)30 b(L)p FT(\()p FR(E)6 b FT(\))141 1132 y(und)63 b FO(k)p FR(P)14 b FO(k)26 b(\024)i FT(1)h(.)141 1481 y FS(De\014nition)38 b(5.2.4.)k FK(Ein)35 b FS(Hilb)s(ertraum)g FK(ist)g(ein)g(vol)5 b(lst)2322 1485 y(\177)2323 1481 y(andiger)33 b(Pr)2778 1485 y(\177)2779 1481 y(ahilb)-5 b(ertr)g(aum.)141 1830 y FS(Korollar)38 b(5.2.5.)k FK(Sei)63 b FR(H)72 b FK(ein)34 b(Hilb)-5 b(ertr)g(aum.)247 2058 y(a\))48 b(Sei)64 b FR(A)27 b FO(\032)i FR(H)36 b FK(.)f(Dann)f(ist)p 1596 2112 110 4 v 1596 2193 a(lin)16 b FR(A)28 b FT(=)f FR(A)1999 2152 y FQ(??)2141 2193 y FR(:)252 2439 y FK(b\))48 b(Insb)-5 b(esonder)g(e)33 b(gilt)i(f)1154 2443 y(\177)1154 2439 y(ur)g(einen)f(T)-7 b(eilr)i(aum)63 b FR(F)78 b FK(von)63 b FR(H)37 b FK(,)1677 2649 y FT(\026)1655 2674 y FR(F)42 b FT(=)27 b FR(F)1940 2633 y FQ(??)2082 2674 y FR(:)252 2963 y FK(c\))48 b(Somit)34 b(ist)65 b FR(F)78 b FK(genau)34 b(dann)g(dicht)h(wenn)63 b FR(F)2101 2927 y FQ(?)2187 2963 y FT(=)28 b FO(f)p FT(0)p FO(g)h FK(.)141 3312 y FS(Bew)m(eis.)j FT(1.)21 b(Sei)52 b FR(F)64 b FT(ein)23 b(abgesc)m(hlossener)h(T)-8 b(eilraum)23 b(v)m(on)52 b FR(H)37 b FT(.)21 b(Nac)m(h)34 b(dem)f(Pro)5 b(jektions-)141 3432 y(satz)33 b(ist)61 b FR(H)36 b FT(=)27 b FR(F)35 b FO(\010)21 b FR(F)999 3396 y FQ(?)1087 3432 y FT(.)33 b(Daraus)e(folgt,)h(dass)62 b FR(F)41 b FT(=)28 b FR(F)2259 3396 y FQ(??)2402 3432 y FT(.)k(Denn)g(man)g(hat)g(immer)141 3552 y FR(F)48 b FO(\032)34 b FR(F)440 3516 y FQ(??)583 3552 y FT(.)i(Sei)h(n)m(un)66 b FR(x)35 b FO(2)f FR(F)1299 3516 y FQ(??)1442 3552 y FT(.)i(Sc)m(hreib)s(e)67 b FR(x)34 b FT(=)g FR(x)2182 3567 y FM(1)2247 3552 y FT(+)24 b FR(x)2402 3567 y FM(2)2476 3552 y FO(2)34 b FR(F)k FO(\010)25 b FR(F)2856 3516 y FQ(?)2944 3552 y FT(.)37 b(Dann)e(ist)141 3673 y FO(k)p FR(x)246 3688 y FM(2)286 3673 y FO(k)336 3637 y FM(2)403 3673 y FT(=)27 b(\()p FR(x)599 3688 y FM(2)656 3673 y FO(j)17 b FR(x)p FT(\))k FO(\000)i FT(\()p FR(x)1008 3688 y FM(2)1065 3673 y FO(j)17 b FR(x)1165 3688 y FM(1)1204 3673 y FT(\))27 b(=)h(0)h(.)j(Also)63 b FR(x)1815 3688 y FM(2)1882 3673 y FT(=)28 b(0)61 b(und)i FR(x)28 b FO(2)g FR(F)43 b FT(.)141 3793 y(2.)35 b(Ist)66 b FR(A)32 b FO(\032)h FR(H)k FT(,)f(so)f(ist)65 b(\()p 1153 3712 109 4 v(lin)17 b FR(A)p FT(\))1389 3757 y FQ(?)1481 3793 y FT(=)33 b FR(A)1663 3757 y FQ(?)1751 3793 y FT(.)i(Nac)m(h)i(1.) e(ist)h(also)p 2544 3712 V 65 w(lin)17 b FR(A)32 b FT(=)h(\()p 2921 3712 V(lin)17 b FR(A)p FT(\))3157 3757 y FQ(??)3303 3793 y FT(=)141 3913 y FR(A)214 3877 y FQ(??)357 3913 y FT(.)33 b(Die)g(Aussagen)g(b\))g(und)g(c\))g(folgen)g(aus)f(a\).)p 3308 3913 4 66 v 3312 3851 59 4 v 3312 3913 V 3370 3913 4 66 v 141 4262 a FS(Anmerkung)37 b(5.2.6.)i FT(Der)30 b(Pro)5 b(jektionssatz)32 b(impliziert)f(insb)s(esondere,)h(dass)e (jeder)141 4383 y(abgesc)m(hlossene)43 b(T)-8 b(eilraum)41 b(eines)g(Hilb)s(ertraumes)g(pro)5 b(jezierbar)41 b(ist.)f(Diese)h (Eigen-)141 4503 y(sc)m(haft)31 b(ist)g(c)m(harakteristisc)m(h)j(f)1284 4507 y(\177)1281 4503 y(ur)c(Hilb)s(ertr)1744 4507 y(\177)1744 4503 y(aume:)h(Ist)61 b FR(E)6 b(;)17 b FO(k)27 b(k)p FT(\))59 b(ein)31 b(Banac)m(hraum,)h(in)141 4623 y(dem)g(jeder)f (abgesc)m(hlossene)i(T)-8 b(eilraum)32 b(pro)5 b(jezierbar)32 b(ist,)f(so)g(gibt)f(es)i(ein)f(Sk)-5 b(alarpro-)141 4744 y(dukt)30 b(auf)57 b FR(E)36 b FT(,)28 b(so)h(dass)h(die)f(Norm)g (zu)g(der)g(v)m(om)h(Sk)-5 b(alarpro)s(dukt)29 b(k)m(ommenden)i(Norm) 141 4864 y FO(k)p FR(x)p FO(k)296 4879 y FM(0)363 4864 y FT(:=)494 4779 y FG(p)p 594 4779 248 4 v 85 x FT(\()p FR(x)17 b FO(j)g FR(x)p FT(\))903 4868 y(\177)903 4864 y(aquiv)-5 b(alen)m(t)34 b(ist)f(\(siehe)h([L)-8 b(T]\).)p eop end %%Page: 114 118 TeXDict begin 114 117 bop 515 266 a FT(114)1143 b FJ(5.)55 b(Hilber)-7 b(tr)2398 262 y(\177)2395 266 y(aume)515 530 y FS(Beispiel)38 b(5.2.7)g FT(\(Der)32 b(Hilb)s(ertraum)63 b FR(`)2057 494 y FM(2)2125 530 y FT(\))p FS(.)42 b FT(F)2303 534 y(\177)2300 530 y(ur)62 b FR(x;)17 b(y)31 b FO(2)d FR(`)2767 494 y FM(2)2868 530 y FT(ist)34 b(nac)m(h)f(der)g(Cauc)m(h)m (y-)515 651 y(Sc)m(h)m(w)m(arz'sc)m(hen)j(Ungleic)m(h)m(ung)1137 823 y FI(N)1097 852 y FG(X)1102 1062 y FI(n)p FM(=1)1274 947 y FO(j)p FR(x)1357 962 y FI(n)1404 947 y FR(y)1452 962 y FI(n)1498 947 y FO(j)28 b(\024)g FT(\()1733 823 y FQ(1)1697 852 y FG(X)1702 1062 y FI(n)p FM(=1)1874 947 y FO(j)p FR(x)1957 962 y FI(n)2004 947 y FO(j)2032 906 y FM(2)2071 947 y FT(\))2119 879 y FE(1)p 2119 891 31 3 v 2119 932 a(2)2164 947 y FT(\()2238 823 y FQ(1)2202 852 y FG(X)2207 1062 y FI(n)p FM(=1)2379 947 y FO(j)p FR(y)2455 962 y FI(n)2501 947 y FO(j)2529 906 y FM(2)2568 947 y FT(\))2616 879 y FE(1)p 2616 891 V 2616 932 a(2)2758 947 y FT(\()p FR(N)38 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119 122 bop 1089 266 a FJ(5.3.)54 b(Or)-7 b(thonormalbasen)944 b FT(119)141 530 y(Sei)66 b FR(F)47 b FT(=)578 456 y FG(S)550 618 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)705 530 y FR(E)777 545 y FI(n)853 530 y FT(.)36 b(Dann)g(ist)p 1353 450 77 4 v 66 w FR(F)47 b FT(=)33 b FR(E)j FT(.)g(Ist)65 b FR(x)34 b FO(2)g FR(E)2180 545 y FI(n)2223 554 y FE(0)2291 530 y FT(,)i(so)g(ist)66 b FR(P)2709 545 y FI(n)2756 530 y FR(x)34 b FT(=)f FR(x)66 b FT(f)3108 534 y(\177)3105 530 y(ur)36 b(alle)141 709 y FR(n)h FO(\025)g FR(n)408 724 y FM(0)476 709 y FT(.)h(Damit)f(ist)92 b(lim)1019 769 y FI(n)p FQ(!1)1219 709 y FR(P)1282 724 y FI(n)1329 709 y FR(x)37 b FT(=)f FR(x)67 b FT(f)1688 713 y(\177)1685 709 y(ur)38 b(alle)67 b FR(x)37 b FO(2)g FR(F)80 b FT(und)39 b(somit)f(auc)m(h)g(f)3106 713 y(\177)3103 709 y(ur)g(alle)141 862 y FR(x)28 b FO(2)g FR(E)68 b FT(\(nac)m(h)33 b(Korollar)f(2.3.4\).) g(Wir)h(hab)s(en)g(\(5.16\))f(b)s(ewiesen.)j(F)2683 866 y(\177)2680 862 y(ur)61 b FR(x;)17 b(y)31 b FO(2)d FR(E)68 b FT(ist)319 1041 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FQ(1)1664 2382 y FG(X)1670 2592 y FI(n)p FM(=1)1841 2477 y FR(\013)1903 2492 y FI(n)1950 2477 y FR(e)1995 2492 y FI(n)141 2804 y FT(mit)52 b FR(\013)401 2819 y FI(n)476 2804 y FO(2)28 b FN(K)52 b FT(in)g FR(E)58 b FT(k)m(on)m(v)m(ergiert)25 b(\(d.h.)76 b(lim)1711 2864 y FI(n)p FQ(!1)1911 2804 y FO(k)p FR(x)r FO(\000)2140 2710 y FI(n)2109 2730 y FG(P)2097 2892 y FI(k)r FM(=1)2259 2804 y FR(\013)2321 2819 y FI(k)2364 2804 y FR(e)2409 2819 y FI(k)2452 2804 y FO(k)27 b FT(=)h(0\))h(,)22 b(so)h(ist)52 b FR(\013)3125 2819 y FI(m)3244 2804 y FT(der)141 3044 y FR(m)p FO(\000)30 b FT(te)d(F)-8 b(ourier-Ko)s(e\013zien)m(t)26 b(v)m(on)56 b FR(x)g FT(\(denn)h(\()p FR(x)p FO(j)p FR(e)2019 3059 y FI(m)2085 3044 y FT(\))28 b(=)52 b(lim)2254 3103 y FI(n)p FQ(!1)2498 2949 y FI(n)2467 2969 y FG(P)2455 3131 y FI(k)r FM(=1)2617 3044 y FR(\013)2679 3059 y FI(k)2722 3044 y FT(\()p FR(e)2805 3059 y FI(k)2847 3044 y FO(j)p FR(e)2920 3059 y FI(m)2987 3044 y FT(\))28 b(=)f FR(\013)3218 3059 y FI(m)3285 3044 y 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b(er)g(ator)g(en)30 b(isometrisch)g(und)g(damit)g(stetig.)h(Insb)-5 b(esonder)g(e)28 b(ist)515 2291 y FR(E)70 b FK(vol)5 b(lst)878 2295 y(\177)879 2291 y(andig)34 b(genau)g(dann,)g(wenn)2004 2265 y FT(^)1981 2291 y FR(E)71 b FK(vol)5 b(lst)2345 2295 y(\177)2346 2291 y(andig)33 b(ist.)515 2625 y FT(Wir)22 b(nennen)h(zw)m(ei)g(Pr) 1334 2629 y(\177)1334 2625 y(ahilb)s(ertr)1705 2629 y(\177)1705 2625 y(aume)g FS(isomorph)p FT(,)g(w)m(enn)g(zwisc)m(hen)h(ihnen)f(ein) f(unit)3663 2629 y(\177)3663 2625 y(arer)515 2746 y(Op)s(erator)f (existiert.)j(Aus)e(der)h(P)m(olarisationsiden)m(tit)2487 2750 y(\177)2487 2746 y(at)g(\(Aufgab)s(e)f(5.2.10\))f(sieh)m(t)i(man,) 515 2866 y(dass)45 b(jede)h(bijektiv)m(e,)h(isometrisc)m(he)g (Abbildung)76 b FR(U)84 b FT(sc)m(hon)46 b(unit)3079 2870 y(\177)3079 2866 y(ar)f(ist)h(\(Aufgab)s(e)515 2986 y(5.3.13\).)32 b(F)-8 b(erner)34 b(sieh)m(t)h(man)e(leic)m(h)m(t,)i (dass)g(unit)2292 2990 y(\177)2292 2986 y(are)e(Abbildungen)i(eine)g (ON-Basis)e(in)515 3107 y(eine)45 b(ON-Basis)1177 3111 y(\177)1174 3107 y(ub)s(erf)1399 3111 y(\177)1396 3107 y(uhrt.)g(Im)f(folgenden)h(Theorem)g(f)2716 3111 y(\177)2713 3107 y(uhren)g(wir)g(die)f(ON-Basis)515 3227 y(eines)34 b(separablen)g(Hilb)s(ertraumes)g(in)e(die)i(k)-5 b(anonisc)m(he)34 b(ON-Basis)f(v)m(on)62 b FR(`)3326 3191 y FM(2)3430 3231 y FT(\177)3427 3227 y(ub)s(er.)515 3562 y FS(Theorem)33 b(5.3.9.)39 b FK(Sei)60 b FR(H)68 b FK(ein)31 b(sep)-5 b(ar)g(abler)30 b(Hilb)-5 b(ertr)g(aum.)32 b(Sei)60 b FO(f)p FR(e)3087 3577 y FI(n)3161 3562 y FT(:)28 b FR(n)g FO(2)g FN(N)p FO(g)60 b FK(eine)515 3682 y(ON-Basis.)41 b(Dann)g(de\014niert)71 b FR(x)41 b FO(2)h FR(H)48 b FO(7!)41 b FT(\(\()p FR(x)p FO(j)p FR(e)2374 3697 y FI(n)2421 3682 y FT(\)\))2497 3697 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2711 3682 y FK(einen)g(unit)3150 3686 y(\177)3151 3682 y(ar)-5 b(en)42 b(Op)-5 b(er)g(ator)515 3803 y FR(U)75 b FK(von)63 b FR(H)72 b FK(nach)63 b FR(`)1326 3767 y FM(2)1395 3803 y FK(.)515 4137 y FS(Bew)m(eis.)31 b FT(Das)h(folgt)g(unmittelbar)i (aus)f(Satz)g(5.3.6)p 3682 4137 V 3686 4075 59 4 v 3686 4137 V 3744 4137 4 66 v 515 4380 a(Jeder)j(separable)g(Hilb)s(ertraum) 65 b FR(H)72 b FT(ist)35 b(somit)h(isomorph)f(zu)65 b FR(`)2988 4344 y FM(2)3057 4380 y FT(.)35 b(In)g(den)h(An)m(w)m(en-)515 4501 y(dungen)43 b(treten)f(Hilb)s(ertr)1503 4505 y(\177)1503 4501 y(aume)h(jedo)s(c)m(h)g(in)f(ganz)g(v)m(ersc)m(hiedener)k(Gestalt) c(auf,)g(wie)515 4621 y(wir)33 b(in)g(Kapitel)f(7)h(sehen)h(w)m(erden.) 515 4864 y(Man)43 b(k)-5 b(ann)43 b(die)g(v)m(orangehenden)1852 4843 y(\177)1840 4864 y(Ub)s(erlegungen)h(auc)m(h)g(dazu)f(b)s(en)m (utzen,)h(die)g(V)-8 b(er-)515 4984 y(v)m(ollst)742 4988 y(\177)742 4984 y(andigung)34 b(eines)g(Pr)1509 4988 y(\177)1509 4984 y(ahilb)s(ertraumes)g(zu)f(de\014nieren.)p eop end %%Page: 121 125 TeXDict begin 121 124 bop 1089 266 a FJ(5.3.)54 b(Or)-7 b(thonormalbasen)944 b FT(121)141 530 y FS(Bemerkung)27 b(5.3.10)f FT(\(V)-8 b(erv)m(ollst)1451 534 y(\177)1451 530 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FR(T)14 b(y)t FT(\))28 b(.)44 b(Damit)g(ist)74 b FR(T)3269 4090 y FQ(\003)3308 4126 y FR(T)141 4246 y FT(selbstadjungiert)34 b(und)292 4472 y FO(k)p FR(T)413 4431 y FQ(\003)452 4472 y FR(T)14 b FO(k)27 b FT(=)54 b(sup)704 4558 y FQ(k)p FI(x)p FQ(k\024)p FM(1)921 4472 y FO(k)p FR(T)1042 4431 y FQ(\003)1081 4472 y FR(T)14 b(x)p FO(k)83 b FT(=)109 b(sup)1499 4558 y FQ(k)p FI(x)p FQ(k\024)p FM(1)1741 4472 y FT(sup)1716 4558 y FQ(k)p FI(y)r FQ(k\024)p FM(1)1930 4472 y FO(j)p FT(\()p FR(T)2067 4431 y FQ(\003)2106 4472 y FR(T)14 b(x)33 b FO(j)f FR(y)t FT(\))p FO(j)1340 4692 y FT(=)109 b(sup)1499 4778 y FQ(k)p FI(x)p FQ(k\024)p FM(1)1741 4692 y FT(sup)1716 4778 y FQ(k)p FI(y)r FQ(k\024)p FM(1)1930 4692 y FO(j)p FT(\()p FR(T)14 b(x)32 b FO(j)h FR(T)14 b(y)t FT(\))p FO(j)26 b(\025)55 b FT(sup)2535 4778 y FQ(k)p FI(x)p FQ(k\024)p FM(1)2752 4692 y FO(j)p FT(\()p FR(T)14 b(x)32 b FO(j)h FR(T)14 b(x)p FT(\))p FO(j)1340 4922 y FT(=)109 b(sup)1499 5008 y FQ(k)p FI(x)p FQ(k\024)p FM(1)1716 4922 y FO(k)p FR(T)14 b(x)p FO(k)1942 4881 y FM(2)2008 4922 y FT(=)28 b FO(k)p FR(T)14 b FO(k)2283 4881 y FM(2)2349 4922 y FR(:)p eop end %%Page: 124 128 TeXDict begin 124 127 bop 515 266 a FT(124)1143 b FJ(5.)55 b(Hilber)-7 b(tr)2398 262 y(\177)2395 266 y(aume)515 530 y FT(Auf)32 b(der)h(anderen)h(Seite)f(ist)63 b FO(k)p FR(T)1766 494 y FQ(\003)1805 530 y FR(T)14 b FO(k)27 b(\024)h(k)p FR(T)2179 494 y FQ(\003)2218 530 y FO(kk)p FR(T)14 b FO(k)27 b FT(=)g FO(k)p FR(T)14 b FO(k)2740 494 y FM(2)2808 530 y FT(.)p 3682 530 4 66 v 3686 468 59 4 v 3686 530 V 3744 530 4 66 v 515 772 a(Wir)24 b(w)m(erden)h(sp) 1120 776 y(\177)1120 772 y(ater)f(sehen,)h(dass)g(selbstadjungierte)g (Op)s(eratoren)f(reelles)h(Sp)s(ektrum)515 893 y(hab)s(en.)33 b(Hier)g(b)s(etrac)m(h)m(ten)h(wir)f(n)m(ur)g(das)g(Punktsp)s(ektrum.) 515 1223 y FS(Satz)k(5.4.4.)42 b FK(Sei)64 b FR(T)41 b FO(2)28 b(L)p FT(\()p FR(H)8 b FT(\))64 b FK(selbstadjungiert.)34 b(Dann)g(gilt:)580 1432 y(\(a\))78 b FR(\033)843 1447 y FI(p)883 1432 y FT(\()p FR(T)14 b FT(\))27 b FO(\032)h FN(R)i FK(;)585 1641 y(\(b\))78 b FR(T)14 b(x)28 b FT(=)f FR(\025x)35 b(;)52 b(T)14 b(y)31 b FT(=)c FR(\026y)38 b(;)51 b(\025)28 b FO(6)p FT(=)g FR(\026)f FO(\))g FR(x)h FO(?)g FR(y)33 b FK(.)585 1851 y(\(c\))78 b FO(k)p FR(T)909 1815 y FM(2)948 1851 y FO(k)27 b FT(=)h FO(k)p FR(T)14 b FO(k)1300 1815 y FM(2)1368 1851 y FK(.)580 2060 y(\(d\))78 b FR(r)s FT(\()p FR(T)14 b FT(\))27 b(=)g FO(k)p FR(T)14 b FO(k)29 b FK(.)515 2390 y FS(Bew)m(eis.)i FT(\(a\))i(Sei)63 b FR(\025)29 b FO(2)h FR(\033)1494 2405 y FI(p)1534 2390 y FT(\()p FR(T)14 b FT(\))29 b(.)k(Sei)63 b FR(x)30 b FO(2)f FR(H)h FO(n)23 b(f)p FT(0)p FO(g)29 b FT(,)k(so)h(dass)63 b FR(T)14 b(x)29 b FT(=)g FR(\025x)h FT(.)j(Dann)g(ist)515 2511 y FR(\025)p FT(\()p FR(x)h FO(j)f FR(x)p FT(\))e(=)f(\()p FR(\025x)k FO(j)f FR(x)p FT(\))e(=)e(\()p FR(T)14 b(x)34 b FO(j)g FR(x)p FT(\))c(=)g(\()p FR(x)k FO(j)g FR(T)14 b(x)p FT(\))30 b(=)g(\()p FR(x)k FO(j)f FR(\025x)p FT(\))e(=)2920 2484 y(\026)2916 2511 y FR(\025)p FT(\()p FR(x)k FO(j)e FR(x)p FT(\))d(.)k(Damit)f(ist)515 2631 y FR(\025)27 b FT(=)707 2605 y(\026)703 2631 y FR(\025)i FT(.)515 2751 y(\(b\))j(Es)i(gilt)61 b FR(\025)p FT(\()p FR(x)33 b FO(j)f FR(y)t FT(\))27 b(=)g FR(\025)p FT(\()p FR(x)33 b FO(j)f FR(y)t FT(\))27 b(=)h(\()p FR(T)14 b(x)32 b FO(j)g FR(y)t FT(\))27 b(=)h(\()p FR(x)k FO(j)h FR(T)14 b(y)t FT(\))26 b(=)i(\()p FR(x)k FO(j)h FR(\026y)t FT(\))26 b(=)h FR(\026)p FT(\()p FR(x)33 b FO(j)f FR(y)t FT(\))c(.)515 2872 y(\(c\))k(folgt)g(aus)h(Lemma)h(5.4.3.)515 2992 y(\(d\))e(Aus)i(\(c\))e(folgt,)g(dass)63 b FO(k)p FR(T)1642 2956 y FM(2)p FI(n)1724 2992 y FO(k)27 b FT(=)h FO(k)p FR(T)14 b FO(k)2076 2956 y FM(2)p FI(n)2219 2992 y FT(f)2252 2996 y(\177)2249 2992 y(ur)33 b(alle)62 b FR(n)28 b FO(2)g FN(N)h FT(.)515 3121 y(Damit)j(gilt)g(nac)m(h)i(Satz)e(4.1.4)62 b FR(r)s FT(\()p FR(T)14 b FT(\))27 b(=)51 b(lim)2024 3181 y FI(n)p FQ(!1)2225 3121 y FO(k)p FR(T)2346 3085 y FM(2)p FI(n)2428 3121 y FO(k)2506 3057 y FE(1)p 2487 3069 69 3 v 2487 3111 a(2)p Fp(n)2598 3121 y FT(=)27 b FO(k)p FR(T)14 b FO(k)29 b FT(.)p 3682 3121 4 66 v 3686 3059 59 4 v 3686 3121 V 3744 3121 4 66 v 515 3363 a(Ist)57 b FR(T)42 b FO(2)28 b(L)p FT(\()p FR(H)8 b FT(\))56 b(selbstadjungiert)30 b(und)57 b FR(\026)28 b FO(2)g FR(\033)2325 3378 y FI(p)2365 3363 y FT(\()p FR(T)14 b FT(\))57 b(so)28 b(hei\031t)57 b(k)m(er)q(\()p FR(\026)13 b FO(\000)g FR(T)h FT(\))56 b(der)29 b FS(Ei-)515 3484 y(genraum)i FT(v)m(on)60 b FR(T)73 b FT(zum)31 b(Eigen)m(w)m(ert)61 b FR(\026)29 b FT(.)h(Aussage)h(\(b\))f(des)h(obigen)f(Satzes)h(b)s (esagt,)515 3604 y(dass)j(Eigenr)1005 3608 y(\177)1005 3604 y(aume)h(zu)f(v)m(ersc)m(hiedenen)j(Eigen)m(w)m(erten)f (orthogonal)d(zueinander)i(sind,)515 3725 y(d.h.)515 3948 y(\(5.25\))779 b(k)m(er)q(\()p FR(\026)21 b FO(\000)i FR(T)14 b FT(\))27 b FO(\032)i FT(\(k)m(er)q(\()p FR(\025)22 b FO(\000)g FR(T)14 b FT(\)\))2665 3907 y FQ(?)515 4172 y FT(w)m(enn)63 b FR(\025;)17 b(\026)27 b FO(2)h FR(\033)1132 4187 y 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FR(n)g FO(2)g FN(N)p FO(g)63 b FK(von)h FR(H)71 b FK(und)34 b(eine)g(r)-5 b(e)g(el)5 b(le)34 b(Nul)5 b(lfolge)385 861 y FT(\()p FR(\025)480 876 y FI(n)527 861 y FT(\))565 876 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)736 861 y FK(,)35 b(so)f(dass)385 1161 y FT(\(5.26\))518 b FR(T)14 b(x)28 b FT(=)1447 1036 y FQ(1)1410 1066 y FG(X)1416 1275 y FI(n)p FM(=1)1598 1161 y FR(\025)1655 1176 y FI(n)1702 1161 y FT(\()p FR(x)35 b FO(j)g FR(e)1938 1176 y FI(n)1985 1161 y FT(\))p FR(e)2068 1176 y FI(n)2215 1161 y FT(\()p FR(x)28 b FO(2)g FR(H)8 b FT(\))27 b FR(:)141 1517 y FS(Bew)m(eis.)61 b FT(\()p FR(ii)p FT(\))28 b FO(\))f FT(\()p FR(i)p FT(\))j(.)48 b(Sei)79 b FO(f)p FR(e)1377 1532 y FI(n)1479 1517 y FT(:)55 b FR(n)g FO(2)g FN(N)p FO(g)78 b FT(eine)49 b(ON-Basis)g(v)m(on)79 b FR(H)85 b FT(und)49 b(sei)141 1637 y(\()p FR(\025)236 1652 y FI(n)283 1637 y FT(\))321 1652 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)525 1637 y FT(eine)33 b(reelle)h(Nullfolge.)f(Sei)63 b FR(x)28 b FO(2)g FR(H)37 b FT(.)c(Dann)f(ist)62 b(\(\()p FR(x)33 b FO(j)f FR(e)2659 1652 y FI(n)2707 1637 y FT(\)\))2783 1652 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2952 1637 y FO(2)d FR(`)3088 1601 y FM(2)3156 1637 y FT(,)k(also)141 1757 y(ist)i(auc)m(h)65 b(\()p FR(\025)636 1772 y FI(n)682 1757 y FT(\()p FR(x)35 b FO(j)p FR(e)883 1772 y FI(n)930 1757 y FT(\)\))1006 1772 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1179 1757 y FO(2)c FR(`)1317 1721 y FM(2)1386 1757 y FT(.)k(Damit)f(k)m(on)m(v)m(ergiert)i(die)f (Reihe)h(\(4.4\))e(nac)m(h)h(Lem-)141 1924 y(ma)27 b(5.3.7.)g(Die)g(P)m (arsev)-5 b(alsc)m(he)30 b(Gleic)m(h)m(ung)e(zeigt,)g(dass)57 b FO(k)p FR(T)14 b(x)p FO(k)2450 1888 y FM(2)2517 1924 y FT(=)2652 1829 y FQ(1)2634 1849 y FG(P)2620 2008 y FI(n)p FM(=1)2770 1924 y FO(j)p FR(\025)2855 1939 y FI(n)2902 1924 y FT(\()p FR(x)27 b FO(j)g FR(e)3122 1939 y FI(n)3169 1924 y FT(\))p FO(j)3235 1888 y FM(2)3302 1924 y FO(\024)141 2160 y FT(\()5 b(sup)179 2242 y FI(m)p FQ(2)p FH(N)353 2160 y FO(j)p FR(\025)438 2175 y FI(m)504 2160 y FO(j)532 2124 y FM(2)571 2160 y FT(\))22 b FO(\001)712 2065 y FQ(1)695 2085 y FG(P)681 2245 y FI(n)p FM(=1)859 2160 y FO(j)p FT(\()p FR(x)32 b FO(j)g FR(e)1117 2175 y FI(n)1164 2160 y FT(\))p FO(j)1230 2124 y FM(2)1297 2160 y FT(=)c(\()5 b(sup)1439 2242 y FI(m)p FQ(2)p FH(N)1613 2160 y FO(j)p FR(\025)1698 2175 y FI(m)1764 2160 y FO(j)1792 2124 y FM(2)1831 2160 y FT(\))p FO(k)p FR(x)p FO(k)2024 2124 y FM(2)2093 2160 y FT(.)141 2402 y(Damit)32 b(ist)63 b FR(T)41 b FO(2)28 b(L)p FT(\()p FR(H)8 b FT(\))61 b(und)141 2626 y(\(5.27\))848 b FO(k)p FR(T)14 b FO(k)27 b(\024)h(k)p FR(\025)p FO(k)1699 2641 y FQ(1)1801 2626 y FT(=)f(sup)1909 2708 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)2068 2626 y FO(j)p FR(\025)2153 2641 y FI(n)2199 2626 y FO(j)h FR(:)141 2967 y FT(Sei)65 b FR(T)387 2982 y FI(m)454 2967 y FR(x)32 b FT(=)684 2872 y FI(m)663 2892 y FG(P)649 3052 y FI(n)p FM(=1)831 2967 y FR(\025)888 2982 y FI(n)935 2967 y FT(\()p FR(x)j FO(j)g FR(e)1171 2982 y FI(n)1218 2967 y FT(\))p FR(e)1301 2982 y FI(n)1377 2967 y FT(.)h(Dann)e(ist)65 b FR(T)1931 2982 y FI(m)2030 2967 y FO(2)32 b(L)p FT(\()p FR(H)8 b FT(\))64 b(ein)35 b(Op)s(erator)g(v)m(on)h(end-)141 3145 y(lic)m(hem)d(Rang)f(und)g(somit)g(ist)61 b FR(T)1382 3160 y FI(m)1510 3145 y FT(k)m(ompakt.)33 b(Aus)f(\(4.5\))g(folgt,)f (dass)62 b FO(k)p FR(T)33 b FO(\000)21 b FR(T)3157 3160 y FI(m)3224 3145 y FO(k)28 b(\024)148 3265 y FT(sup)141 3344 y FI(n>m)318 3265 y FO(j)p FR(\025)403 3280 y FI(n)449 3265 y FO(j)h FT(.)38 b(Somit)h(ist)67 b FR(T)51 b FT(=)71 b(lim)1250 3325 y FI(m)p FQ(!1)1470 3265 y FR(T)1527 3280 y FI(m)1661 3265 y FT(k)m(ompakt)39 b(nac)m(h)f(Satz)h(4.2.2.)e (Sc)m(hlie\031lic)m(h)j(ist)141 3500 y(nac)m(h)33 b(\(3.4\),)62 b(\()p FR(T)14 b(x)32 b FO(j)h FR(y)t FT(\))26 b(=)1169 3405 y FQ(1)1152 3425 y FG(P)1138 3585 y FI(n)p FM(=1)1315 3500 y FR(\025)1372 3515 y FI(n)1419 3500 y FT(\()p FR(x)33 b FO(j)f FR(e)1650 3515 y FI(n)1697 3500 y FT(\)\()p FR(e)1818 3515 y FI(n)1898 3500 y FO(j)g FR(y)t FT(\))61 b(und)33 b(somit)740 3870 y(\()p FR(x)g FO(j)f FR(T)14 b(y)t FT(\))82 b(=)h(\()p FR(x)33 b FO(j)1567 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(Satz:)141 1953 y FS(Satz)38 b(6.2.3.)k FK(Je)-5 b(der)34 b(gleichm)1272 1957 y(\177)1273 1953 y(a\031ig)g(konvexe)f(Banachr)-5 b(aum)34 b(ist)h(r)-5 b(e\015exiv.)141 2289 y FT(F)208 2293 y(\177)205 2289 y(ur)45 b(den)h(Bew)m(eis)h(b)s(en)1027 2293 y(\177)1027 2289 y(otigen)f(wir)g(et)m(w)m(as)h(V)-8 b(orb)s(ereitung.)45 b(Zun)2588 2293 y(\177)2588 2289 y(ac)m(hst)i(einmal)f(sieh)m(t)141 2409 y(man)28 b(leic)m(h)m(t,)i (dass)f(sic)m(h)h(gleic)m(hm)1354 2413 y(\177)1354 2409 y(a\031ige)f(Kon)m(v)m(exit)1983 2413 y(\177)1983 2409 y(at)h(durc)m(h)f(eine)g(appro)m(ximativ)m(e)h(V)-8 b(er-)141 2529 y(sion)33 b(v)m(on)g(\(6.7\))f(ausdr)995 2533 y(\177)992 2529 y(uc)m(k)m(en)k(l)1294 2533 y(\177)1294 2529 y(a\031t.)141 2864 y FS(Lemma)j(6.2.4.)j FK(Ein)34 b(normierter)g(V)-7 b(ektorr)i(aum)64 b FR(E)70 b FK(ist)34 b(genau)h(dann)e(gleichm)3202 2868 y(\177)3203 2864 y(a\031ig)141 2985 y(konvex,)h(wenn)g(f)774 2989 y(\177)774 2985 y(ur)64 b FR(x)986 3000 y FI(n)1034 2985 y FR(;)17 b(y)1126 3000 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b(K)m(onvexe)38 b(Anal)-7 b(ysis)515 530 y FL(6.3)160 b(Minim)l(um)54 b(k)l(on)l(v)l(exer)d(F)-13 b(unktionen)515 749 y FT(Eine)47 b(wic)m(h)m(tige)h(Aufgab)s(e)e(in)h(der)f(Analysis)i (ist)f(es)g(nac)m(hzu)m(w)m(eisen,)j(ob)c(eine)h(reell-)515 870 y(w)m(ertige)e(F)-8 b(unktion)74 b FR(f)59 b FT(:)48 b FR(C)55 b FO(!)47 b FN(R)74 b FT(ein)45 b(Minim)m(um)h(b)s(esitzt.)g (Dazu)e(b)s(en)3323 874 y(\177)3323 870 y(otigt)g(man)515 990 y(im)31 b(Allgemeinen)i(ein)e(T)-8 b(eilfolgenargumen)m(t)33 b(\(vgl.)e(Korollar)f(1.4.9\).)g(Ist)61 b FR(C)67 b FT(eine)32 b(b)s(e-)515 1110 y(sc)m(hr)685 1114 y(\177)685 1110 y(ankte)f(sc)m(h)m(w)m(ac)m(h)i(abgesc)m(hlossene)g(T)-8 b(eilmenge)31 b(eines)g(re\015exiv)m(en)i(Raumes)59 b FR(E)36 b FT(,)29 b(so)515 1231 y(w)585 1235 y(\177)585 1231 y(are)43 b(die)g(Sac)m(he)g(einfac)m(h,)g(w)m(enn)74 b FR(f)82 b FT(sc)m(h)m(w)m(ac)m(h)45 b(stetig)e(ist.)g(Letzte)g(V)-8 b(oraussetzung)515 1351 y(ist)29 b(ab)s(er)h(viel)g(zu)g(stark)f(f)1445 1355 y(\177)1442 1351 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FT(:)36 b FR(C)43 b FO(!)36 b FN(R)69 b FK(nach)38 b(unten)515 3195 y(halbstetig)c(und)h(konvex,)f(so)g(dass)515 3410 y FT(\(6.13\))1055 b(lim)1777 3464 y Fo(k)p Fp(x)p Fo(k!1)1826 3520 y Fp(x)p Fo(2)p Fp(C)2024 3410 y FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))28 b(=)f FO(1)h FR(:)515 3707 y FK(Dann)34 b(b)-5 b(esitzt)64 b FR(f)75 b FK(ein)34 b(Minimum.)515 3906 y FT(Bedingung)c(\(6.13\))g(b)s(edeutet,)h(dass)g(es)f(zu)h(jedem) 60 b FR(c)28 b FO(2)g FN(R)59 b FT(ein)h FR(r)30 b(>)e FT(0)59 b(gibt,)30 b(so)g(dass)515 4027 y FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))44 b FO(\025)h FR(c)29 b FT(,)42 b(w)m(enn)74 b FR(x)44 b FO(2)h FR(C)k(;)59 b FO(k)p FR(x)p FO(k)45 b(\025)f FR(r)32 b FT(.)43 b(Sie)g(ist)f(automatisc)m(h)i(erf)3172 4031 y(\177)3169 4027 y(ullt,)f(w)m(enn)73 b FR(C)515 4147 y FT(b)s(esc)m(hr)785 4151 y(\177)785 4147 y(ankt)34 b(ist.)515 4388 y FS(Bew)m(eis.)d FT(Sei)83 b FR(d)1170 4403 y FM(0)1272 4388 y FT(:=)74 b(inf)1437 4450 y FI(x)p FQ(2)p FI(C)1595 4388 y FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))63 b FO(2)g FT([)p FO(\0001)p FR(;)17 b FO(1)p FT(\))29 b(.)53 b(W)2572 4392 y(\177)2572 4388 y(ahle)83 b FR(d)2879 4403 y FM(1)2980 4388 y FR(>)63 b(d)3170 4403 y FM(2)3271 4388 y FR(>)g(:)17 b(:)g(:)81 b FT(mit)539 4547 y(lim)515 4607 y FI(n)p FQ(!1)715 4547 y FR(d)766 4562 y FI(n)842 4547 y FT(=)28 b FR(d)997 4562 y FM(0)1065 4547 y FT(.)34 b(Sei)63 b FR(r)31 b(>)d FT(0)i(,)j(so)g(dass)63 b FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))29 b FO(\025)g FR(d)2369 4562 y FM(1)2471 4547 y FT(f)2504 4551 y(\177)2501 4547 y(ur)k(alle)62 b FR(x)29 b FO(2)g FR(C)70 b FT(mit)62 b FO(k)p FR(x)p FO(k)29 b FR(>)g(r)i FT(.)515 4700 y(Die)22 b(Menge)53 b FR(C)1083 4715 y FM(1)1150 4700 y FT(:=)27 b FO(f)p FR(x)h FO(2)g FR(C)35 b FT(:)28 b FO(k)p FR(x)p FO(k)f(\024)h FR(r)s FO(g)52 b FT(ist)22 b(k)m(on)m(v)m(ex,)j(b)s(esc)m(hr)2840 4704 y(\177)2840 4700 y(ankt)g(und)79 b(inf)3271 4762 y FI(x)p FQ(2)p FI(C)3408 4771 y FE(1)3459 4700 y FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))28 b(=)515 4864 y FR(d)566 4879 y FM(0)634 4864 y 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b(\012)c FO(n)f FR(A)28 b FO(2)g FT(\006)62 b(f)1205 4055 y(\177)1202 4051 y(ur)33 b(alle)62 b FR(A)27 b FO(2)i FT(\006)g(;)206 4260 y(\(b\))78 b(\012)28 b FO(2)g FT(\006)i(;)217 4470 y(\(c\))442 4395 y FG(S)414 4557 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)569 4470 y FR(A)642 4485 y FI(n)716 4470 y FO(2)f FT(\006)g(,)65 b(falls)d FR(A)1308 4485 y FI(n)1383 4470 y FO(2)28 b FT(\006)98 b(\()p FR(n)28 b FO(2)g FN(N)p FT(\))h(.)141 4744 y(Damit)e(ist)h(auc)m (h)g(die)g(leere)g(Menge)57 b FO(;)g FT(in)g(\006)f(und)i(\006)e(ist)28 b(stabil)g(gegen)2853 4748 y(\177)2850 4744 y(ub)s(er)g(abz)3216 4748 y(\177)3216 4744 y(ahl-)141 4864 y(baren)33 b(V)-8 b(ereinigungen.)1687 5233 y(143)p eop end %%Page: 144 148 TeXDict begin 144 147 bop 515 266 a FT(144)611 b FJ(7.)55 b(R)1498 262 y(\177)1495 266 y(aume)37 b(integrierbarer)g(Funktionen) 515 530 y FT(Es)k(ist)f(unmittelbar)i(klar,)e(dass)h(die)g(P)m (otenzmenge)72 b FO(P)8 b FT(\(\012\))70 b(eine)h FR(\033)33 b FT(-Algebra)40 b(ist.)515 651 y(F)-8 b(erner)30 b(ist)g(der)g(Durc)m (hsc)m(hnitt)h(v)m(on)60 b FR(\033)33 b FT(-Algebren)d(wieder)h(eine)60 b FR(\033)34 b FT(-Algebra.)29 b(Damit)515 771 y(gibt)c(es)i(zu)f (jeder)g(T)-8 b(eilmenge)57 b FO(A)d FT(v)m(on)i FO(P)8 b FT(\(\012\))55 b(eine)27 b(kleinste)57 b FR(\033)33 b FT(-Algebra)55 b FR(\033)t FT(\()p FO(A)p FT(\))f(die)515 891 y FO(A)59 b FT(en)m(th)840 895 y(\177)840 891 y(alt)31 b(\(es)g(ist)g(n)1323 895 y(\177)1323 891 y(amlic)m(h)61 b FR(\033)t FT(\()p FO(A)p FT(\))e(der)31 b(Durc)m(hsc)m(hnitt)h(aller) 60 b FR(\033)34 b FT(-Algebren,)d(die)60 b FO(A)515 1012 y FT(umfassen\).)515 1356 y FS(De\014nition)47 b(7.1.1.)f FK(Sei)70 b FT(\012)42 b FO(\032)f FN(R)1856 1320 y FI(d)1926 1356 y FK(.)h(Die)f(kleinste)71 b FR(\033)33 b FK(-A)n(lgebr)-5 b(a,)41 b(die)g(al)5 b(le)42 b(o\013enen)515 1477 y(T)-7 b(eilmengen)27 b(von)59 b FT(\012)h FK(enth)1550 1481 y(\177)1551 1477 y(alt,)29 b(hei\031t)h(die)g FS(Borelalgebra)p FK(.)h(Wir)f(b)-5 b(ezeichnen)28 b(sie)i(mit)515 1597 y FO(B)s FT(\(\012\))g FK(.)35 b(Die)f(Elemente)g(von)64 b FO(B)s FT(\(\012\))g FK(hei\031en)35 b FS(Borelmengen)p FK(.)515 1942 y FT(Als)e(n)740 1946 y(\177)740 1942 y(ac)m(hstes)i(f) 1108 1946 y(\177)1105 1942 y(uhren)e(wir)g(den)g(Begri\013)g(des)g (Ma\031es)g(ein.)515 2166 y FS(De\014nition)28 b(7.1.2.)36 b FK(Sei)56 b FT(\006)g FK(eine)g FR(\033)33 b FK(-A)n(lgebr)-5 b(a)26 b(von)h(T)-7 b(eilmengen)25 b(von)56 b FT(\012)29 b FK(.)e(Ein)g(Ma\031)515 2286 y FR(\026)64 b FK(auf)g FT(\006)g FK(ist)35 b(eine)f(A)n(bbildung)64 b FR(\026)27 b FT(:)h(\006)g FO(!)f FT([0)p FR(;)17 b FO(1)p FT(])29 b FK(,)35 b(so)f(dass)580 2510 y(\(a\))78 b FR(\026)p FT(\()p FO(;)p FT(\))27 b(=)g(0)j FK(;)585 2780 y(\(b\))78 b FR(\026)p FT(\()912 2706 y FG(S)885 2868 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1039 2780 y FR(A)1112 2795 y FI(n)1159 2780 y FT(\))28 b(=)1359 2686 y FQ(1)1342 2706 y FG(P)1328 2865 y FI(n)p FM(=1)1478 2780 y FR(\026)p FT(\()p FR(A)1648 2795 y FI(n)1695 2780 y FT(\))64 b FK(fal)5 b(ls)63 b FR(A)2108 2795 y 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FR(A)p FT(\))28 b FO(\024)g FR(\026)p FT(\()p FR(B)5 b FT(\))29 b FK(,)35 b(wenn)63 b FR(A;)17 b(B)32 b FO(2)d FT(\006)g FK(,)64 b FR(A)28 b FO(\032)g FR(B)35 b FK(;)515 4102 y FT(\(7.2\))77 b FR(\026)p FT(\()p FR(B)18 b FO(n)13 b FR(A)p FT(\))27 b(=)h FR(\026)p FT(\()p FR(B)5 b FT(\))13 b FO(\000)g FR(\026)p FT(\()p FR(A)p FT(\))28 b FK(,)j(wenn)59 b FR(A;)17 b(B)32 b FO(2)d FT(\006)g FK(,)60 b FR(A)28 b FO(\032)g FR(B)65 b FK(und)60 b FR(\026)p FT(\()p FR(B)5 b FT(\))27 b FR(<)h FO(1)h FK(;)515 4372 y FT(\(7.3\))77 b FR(\026)p FT(\()921 4277 y FQ(1)915 4297 y FG(S)890 4457 y FI(n)p FM(=1)1040 4372 y FR(A)1113 4387 y FI(n)1160 4372 y FT(\))27 b(=)h(sup)1333 4454 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)1492 4372 y FR(\026)p FT(\()p FR(A)1662 4387 y FI(n)1709 4372 y FT(\))h FK(,)35 b(wenn)63 b FR(A)2197 4387 y FI(n)2272 4372 y FO(2)28 b FT(\006)i FK(,)35 b(so)f(dass)64 b FR(A)2972 4387 y FI(n)3046 4372 y FO(\032)29 b FR(A)3225 4387 y FI(n)p FM(+1)759 4551 y FK(\()g FR(n)f FO(2)g FN(N)h FK(\);)515 4775 y 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b(Das)g(folgt)g(unmittelbar)h(aus)g(der)g(De\014nition.)f(Ins-) 515 1071 y(b)s(esondere)c(ist)1774 1080 y FG(Z)1777 1363 y FM(\012)1891 1215 y FR(g)t FT(\()p FR(x)p FT(\))p FR(d\026)p FT(\()p FR(x)p FT(\))27 b(=)g(0)515 1499 y(falls)62 b FR(g)j FT(messbar)34 b(ist)f(und)62 b FR(g)t FT(\()p FR(x)p FT(\))28 b(=)f(0)97 b FR(\026)p FO(\000)30 b FT(f.)2280 1503 y(\177)2277 1499 y(u.)j(Umgek)m(ehrt)h(gilt)e(folgendes:)515 1800 y FS(Lemma)g(7.2.5.)37 b FK(Sei)59 b FR(f)38 b FT(:)28 b(\012)g FO(!)f FT([0)p FR(;)17 b FO(1)p FT(])58 b FK(messb)-5 b(ar.)29 b(Es)g(ist)2754 1719 y FG(R)2752 1892 y FM(\012)2837 1800 y FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FR(d\026)p FT(\()p FR(x)p FT(\))27 b(=)h(0)58 b FK(genau)515 1985 y(dann,)34 b(wenn)63 b FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))28 b(=)f(0)100 b FR(\026)p FO(\000)29 b FK(f.)1767 1989 y(\177)1767 1985 y(u.)515 2286 y FS(Bew)m(eis.)i FT(Sei)1101 2206 y FG(R)1099 2378 y FM(\012)1184 2286 y FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FR(d\026)p FT(\()p FR(x)p FT(\))30 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FK(.)47 b(Sei)515 1188 y FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))27 b(=)h(lim)17 b(inf)1106 1203 y FI(n)p FQ(!1)1311 1188 y FR(f)1359 1203 y FI(n)1406 1188 y FT(\()p FR(x)p FT(\))100 b(\()p FR(x)28 b FO(2)g FT(\012\))i FK(.)k(Dann)g(gilt)515 1424 y FT(\(7.21\))1359 1289 y FG(Z)1361 1572 y FM(\012)1475 1424 y FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FR(d\026)p FT(\()p FR(x)p FT(\))27 b FO(\024)i FT(lim)17 b(inf)2082 1484 y FI(n)p FQ(!1)2325 1289 y FG(Z)2327 1572 y FM(\012)2442 1424 y FR(f)2490 1439 y FI(n)2537 1424 y FT(\()p FR(x)p FT(\))p FR(d\026)p FT(\()p FR(x)p FT(\))515 1733 y FS(Bemerkung)36 b(7.2.13.)k FT(In)30 b(\(7.21\))f(k)1917 1737 y(\177)1917 1733 y(onnen)i(die)f(W)-8 b(erte)59 b FO(1)g FT(auftreten.)30 b(Die)f(Unglei-)515 1853 y(c)m(h)m(ung)36 b(zeigt)f(insb)s(esondere,)h (dass)65 b FR(f)75 b FT(in)m(tegrierbar)35 b(ist,)g(falls)64 b(sup)2937 1935 y FI(n)p FQ(2)p FH(N)3096 1773 y FG(R)3094 1945 y FM(\012)3179 1853 y FR(f)3227 1868 y FI(n)3274 1853 y FT(\()p FR(x)p FT(\))p FR(d\026)p FT(\()p 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FR(x)p FT(\))d FR(\026)p FO(\000)k FK(f.)3795 4529 y(\177)3795 4525 y(u.)515 4646 y(Dann)34 b(ist)64 b FR(f)75 b FK(inte)-5 b(grierb)g(ar)34 b(und)515 4876 y FT(\(7.22\))696 b(lim)1437 4936 y FI(n)p FQ(!1)1638 4741 y FG(Z)1640 5024 y FM(\012)1754 4876 y FO(j)p FR(f)1830 4891 y FI(n)1877 4876 y FT(\()p FR(x)p FT(\))22 b FO(\000)h FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)p FR(d\026)p FT(\()p FR(x)p FT(\))27 b(=)g(0)35 b(;)p eop end %%Page: 155 159 TeXDict begin 155 158 bop 903 266 a FJ(7.2.)55 b(Integrierbare)36 b(Funktionen)758 b FT(155)141 566 y(\(7.23\))631 b(lim)998 626 y FI(n)p FQ(!1)1199 431 y FG(Z)1201 714 y FM(\012)1315 566 y FR(f)1363 581 y FI(n)1410 566 y FT(\()p FR(x)p FT(\))p FR(d\026)p FT(\()p FR(x)p FT(\))28 b(=)1913 431 y FG(Z)1915 714 y FM(\012)2029 566 y FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FR(d\026)p FT(\()p FR(x)p FT(\))35 b FR(:)141 881 y FS(Bew)m(eis.)d FT(Es)h(ist)62 b FO(j)p FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p FO(j)27 b(\024)h FR(g)t FT(\()p FR(x)p FT(\))62 b(f)1496 885 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FR(d\026)31 b(:)141 2794 y FT(Damit)44 b(ist)75 b(lim)17 b(sup)932 2817 y FI(n)p FQ(!1)1136 2713 y FG(R)1134 2886 y FM(\012)1219 2794 y FO(j)p FR(f)1295 2809 y FI(n)1372 2794 y FO(\000)31 b FR(f)11 b FO(j)p FR(d\026)47 b FO(\024)i FT(0)29 b(,)44 b(und)i(\(7.22\))d(ist)i(b)s(ewiesen.)i(W)-8 b(egen)141 2985 y(\(7.19\))52 b(folgt)h(daraus)82 b(lim)17 b(sup)1352 3008 y FI(n)p FQ(!1)1557 2985 y FO(j)1602 2904 y FG(R)1600 3077 y FM(\012)1684 2985 y FR(f)1732 3000 y FI(n)1779 2985 y FR(d\026)36 b FO(\000)2038 2904 y FG(R)2036 3077 y FM(\012)2121 2985 y FR(f)11 b(d\026)p FO(j)62 b FT(=)g(lim)17 b(sup)2817 3008 y FI(n)p FQ(!1)3022 2985 y FO(j)3067 2904 y FG(R)3065 3077 y FM(\012)3132 2985 y FT(\()p FR(f)3218 3000 y FI(n)3302 2985 y FO(\000)141 3176 y FR(f)11 b FT(\))p FR(d\026)p FO(j)27 b(\024)h FT(lim)17 b(sup)807 3199 y FI(n)p FQ(!1)1011 3095 y FG(R)1009 3268 y FM(\012)1094 3176 y FO(j)p FR(f)1170 3191 y FI(n)1239 3176 y FO(\000)23 b FR(f)11 b FO(j)p FR(d\026)26 b FT(=)i(0)h(.)p 3308 3176 4 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f(Zeige,)h(dass)g(folgende)h(A)n(ussagen)3013 4304 y(\177)3014 4300 y(aquivalent)141 4400 y(sind:)226 4542 y(\(a\))78 b FA(f)64 b FB(ist)26 b(nach)h FD(un)m(ten)h(halbstetig)p FB(;)d(d.h.)j(f)1740 4546 y(\177)1740 4542 y(ur)e(al)t(le)57 b FA(a)23 b Fz(2)g FA(M)35 b(;)40 b(c)23 b(<)f(f)9 b FC(\()p FA(a)p FC(\))56 b FB(gibt)26 b(es)g(ein)56 b FA(\016)26 b(>)d FC(0)29 b FB(,)385 4642 y(so)h(dass)60 b FA(d)p FC(\()p FA(a;)14 b(x)p FC(\))24 b FA(<)f(\016)j Fz(\))d FA(f)9 b FC(\()p FA(x)p FC(\))23 b FA(>)g(c)29 b FB(.)230 4784 y(\(b\))78 b Fz(f)p FA(f)9 b FC(\()p FA(x)p FC(\))23 b Fz(\024)g FA(c)p Fz(g)58 b FB(ist)30 b(ab)l(geschlossen)i(f)1520 4788 y(\177)1520 4784 y(ur)d(je)l(des)60 b FA(c)23 b Fz(2)h Fy(R)29 b FB(;)230 4926 y(\(c\))107 b FC(lim)414 4976 y Fw(n)p Fv(!1)602 4926 y FA(x)649 4938 y Fw(n)717 4926 y FC(=)23 b FA(x)g Fz(\))g FA(f)9 b FC(\()p FA(x)p FC(\))24 b Fz(\024)f FC(lim)14 b(inf)1282 4976 y Fw(n)p Fv(!1)1498 4926 y FA(f)9 b FC(\()p FA(x)1627 4938 y Fw(n)1672 4926 y 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(folgende)g(wic)m(h)m(tige)i(F)-8 b(olgerung:)515 2953 y FS(Korollar)31 b(7.3.5.)38 b FK(Der)29 b(R)-5 b(aum)59 b FR(L)1815 2917 y FM(2)1855 2953 y FT(\(\012\))g FK(ist)30 b(en)g(Hilb)-5 b(ertr)g(aum)30 b(f)2885 2957 y(\177)2885 2953 y(ur)g(das)f(Skalarpr)-5 b(o)g(dukt)1532 3191 y FT(\()p FR(f)45 b FO(j)35 b FR(g)t FT(\))27 b(=)1945 3055 y FG(Z)1947 3339 y FM(\012)2061 3191 y FR(f)11 b FT(\()p FR(x)p FT(\))p 2251 3104 182 4 v FR(g)t FT(\()p FR(x)p FT(\))p FR(d\026)p FT(\()p FR(x)p FT(\))35 b FR(:)515 3602 y FL(7.4)160 b(Dualit)1326 3609 y(\177)1327 3602 y(at)515 3821 y FT(Die)64 b FR(L)790 3785 y FI(p)859 3821 y FT(-R)964 3825 y(\177)964 3821 y(aume)35 b(sind)h(f)1468 3825 y(\177)1465 3821 y(ur)64 b(1)32 b FR(<)f(p)h(<)f FO(1)64 b FT(re\015exiv)37 b(und)65 b FR(L)2798 3785 y FM(2)2902 3821 y FT(ist)35 b(ein)h(Hilb)s(ertraum.)515 3942 y(Diese)45 b(T)-8 b(atsac)m(he)47 b(ist)e(v)m(on)g(gr)1637 3946 y(\177)1637 3942 y(o\031ter)g(Bedeutung)h(f)2436 3946 y(\177)2433 3942 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FT(:)g FR(L)1643 1754 y FI(q)1682 1795 y FT(\(\012\))h FO(!)f FT(\()p FR(L)2087 1754 y FI(p)2127 1795 y FT(\(\012\)\))2311 1754 y FQ(0)141 2020 y FK(ist)35 b(eine)f(isometrischer)g(Isomorphismus.)141 2232 y FT(Man)f(k)-5 b(ann)33 b(also)f(kurz)i(sc)m(hreib)s(en)1223 2458 y(\()p FR(L)1327 2416 y FI(p)1367 2458 y FT(\(\012\)\))1551 2416 y FQ(0)1602 2458 y FT(=)27 b FR(L)1771 2416 y FI(q)1810 2458 y FT(\(\012\))98 b(w)m(ob)s(ei)170 2683 y(1)28 b FR(<)f(p)h(<)g FO(1)k FR(;)749 2644 y FM(1)p 749 2660 V 749 2717 a FI(p)817 2683 y FT(+)924 2644 y FM(1)p 924 2660 V 925 2717 a FI(q)997 2683 y FT(=)c(1)h(.)141 2925 y(Genau)k(wie)g(in)g(Korollar)f(3.3.12)g(erh)1540 2929 y(\177)1540 2925 y(alt)g(man)h(als)g(unmittelbare)h(F)-8 b(olgerung:)141 3138 y FS(Korollar)38 b(7.4.2.)k FK(Der)34 b(R)-5 b(aum)64 b FR(L)1462 3102 y FI(p)1502 3138 y FT(\(\012\))h FK(ist)35 b(r)-5 b(e\015exiv,)34 b(fal)5 b(ls)63 b FT(1)28 b FR(<)f(p)h(<)g FO(1)g FK(.)141 3350 y FT(Als)40 b(n)373 3354 y(\177)373 3350 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